Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 51
und können das optimale Stoppproblem formal wie folgt schreiben: Bestimme eine Stoppzeit τ ∗
mit
τ ∗ ∈ arg max { E(H τ ) : τ ∈ T } . (3.31)
Beispiel: Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass die Bewertung einer Amerikanischen
Put-Option auf ein Stopp-Problem mit H t = e −rt (K −S t ) + führt. Die Diskontierung ist wichtig,
um den Einfluss des Auszahlungszeitpunktes richtig zu bewerten.
Beispiel: (H ist ein Martingal.) Nach dem Stoppsatz gilt in diesem Fall für jede Stoppzeit
τ ∈ T E(H τ ) = H 0 , so dass jede Stoppzeit optimal ist. Die Snell envelope von H ist durch den
Prozess H selber gegeben. Es ist also egal, wann man stoppt und somit ist eine kleinste, optimale
Stoppzeit durch τ min = 0, und eine größte optimale Stoppzeit durch τ max = N gegeben.
Definition 3.6.1 (Snell envelope). Der Snell envelope (U n ) n=0,1,...,N
(H n ) n=0,1,...,N ist rekursiv definiert durch
des Auszahlungsprozesses
U N := H N , U n := max{H n , E(U n+1 |F n )} für n = N − 1, N − 2, . . . , 0. (3.32)
Proposition 3.6.2. Der Snell envelope U zum Auszahlungsprozess H ist das kleinste Supermartingal
mit U n ≥ H n für alle n ∈ {0, 1, . . . N}.
Beweis: Nach Defintion von U gilt U n ≥ H n und U n ≥ E(U n+1 |F n ), also ist U ein Supermartingal.
Sei nun ein weiteres Supermartingal Ũ mit Ũn ≥ H n gegeben. In N gilt U N = H N ≤ ŨN.
Gilt für ein 0 < k ≤ N, dass U k ≤ Ũk, so folgt
U k−1 = max { H k−1 , E(U k |F k−1 ) } ≤ max { H k−1 , E(Ũk|F k−1 )} ≤ Ũk−1,
wobei die letzte Ungleichheit folgt, da Ũ ein Supermartingal mit U˜
n ≥ H n ist.
Proposition 3.6.3 (Charakterisierung optimaler Stoppzeiten). Eine Stoppzeit τ ∈ T ist optimal
genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen gelten:
1. H τ = U τ
2. Der gestoppte Prozess U τ mit U τ n := U τ∧n ist ein Martingal.
Eine optimale Stoppzeit ist durch τ min := inf{n = 0, . . . , N : U n = H n } gegeben.
Beweis: Da U ein Supermartingal mit U n ≥ H n für alle n = 0, 1, . . . , N ist, gilt
E(H˜τ ) ≤ E(U˜τ ) ≤ U 0 , ∀˜τ ∈ T, (3.33)
wobei die letzte Ungleichheit aus dem Stoppsatz folgt. Erfüllt nun τ die Bedingungen (i) und
(ii), so gilt
E(H τ ) = E(U τ ) = E(U τ N) = U 0 , (3.34)
also ist τ optimal. Betrachten wir nun τ min . Nach Definition gilt U τmin = H τmin . Da U und H
adaptiert sind, ist τ min eine Stoppzeit, es ist also {τ min > n} ∈ F n . Damit folgt
E(U τ min
n+1 | F n) = 1 {τmin >n}E(U n+1 | F n ) + 1 {τmin ≤n}U τmin
= 1 {τmin >n}U n + 1 {τmin ≤n}U τmin
= U τ min
n ,
also ist U τ min
ein Martingal. τ min erfüllt die Bedingungen (i) und (ii) und ist somit optimal.
Umgekehrt folgt aus der Optimalität von τ min Gleichheit in (3.33). Dies impliziert aber sofort
die Gültigkeit der Bedingungen (i) und (ii) für jede optimale Stoppzeit.