Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell 37
zwei Fälle auftreten können, die wir mit up und down bezeichnen. In diesem Abschnitt haben
wir einen risikolosen Zinssatz r, d.h. S t,0 = (1 + r) t . Für unsere betrachtete Aktie schreiben wir
einfach (S t ) t=0,...,N statt (S t,i ) t=0,...,N . Wir wählen ein u > 0 und ein d > 0 mit u > 1 + r > d.
Der CRR-Baum sieht folgendermaßen aus:
S 0
S ✟
0 ❍ ✟✟✟u2 ❍❍❍ud
S 0 ✟ ✟✟✟u ❍ S0
❍❍❍d
S0 ✟
❍ ✟✟✟
❍❍❍d 2 S 0
In jeder Verzweigung tritt ein up mit der Wahrscheinlichkeit p und ein down mit der Wahrscheinlichkeit
1 − p auf. Der betrachtete Baum ist rekombinierbar, was die numerische Handhabung
wesentlich vereinfacht.
Nun benötigen wir noch eine präzise Beschreibung des N-Perioden-CRR-Modells. Dazu wählen
wir Ω = {u, d} N , so dass die Elemente von Ω die Gestalt ω = (ω 1 , . . . , ω N ) mit ω t ∈ {u, d}
haben. Für ein festes ω definieren wir die Anzahl der ups bis zum Zeitpunkt t durch
Damit haben wir eine einfache Darstellung für den Aktienpreis
Die Filtration (F t ) t=0,...,N definieren wir durch
j t (ω) := #{i 0 ∀ω ∈ Ω.
3.4.2 Das äquivalente Martingalmaß
Betrachten wir zunächst den Einperiodenfall. Unter einem äquivalenten Martingalmaß Q muss
der diskontierte Aktienpreis ein Martingal sein, mit der Bezeichnung q := Q(ω 1 = u) erhalten
wir also
( ) 1
S 0 = E Q 1 + r S 1 = 1
1 + r (qS 0u + (1 − q)S 0 d) ,
was uns
q = 1 + r − d
u − d
(3.14)
liefert. Dabei ist q ∈ (0, 1) genau dann, wenn d < 1 + r < u, was wir vorausgesetzt hatten. q ist
dann auch eindeutig.
Betrachten wir den Mehrperiodenfall. Wir bestimmen Q rekursiv. Setzen wir im Zeitpunkt t
Q(ω t+1 = u|F t ) := q und Q(ω t+1 = d|F t ) = 1 − q so erhalten wir
Q({ω}) = q j t(ω) (1 − q) t−j t(ω) . (3.15)
Die Definition von q liefert uns die Martingaleigenschaft des diskontierten Wertpapierpreises,
aus der Eindeutigkeit von q für jede Periode folgt die Eindeutigkeit von Q. Das betrachtete