Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.4 Unvollständige Märkte 23
2.4 Unvollständige Märkte
Wir betrachten im folgenden stets einen unvollständigen arbitragefreien Markt D, S. Außerdem
nehmen wir der Einfachheit halber an, dass das erste Wertpapier eine Nullkuponanleihe ist, d. h.
a 1 (ω s ) = 1 ∀s = 1, . . . K. Für eine nicht erreichbare bedingte Auszahlung W (etwa eine Option)
stellen sich zwei Fragen.
• Wie kann ein Verkäufer das mit dem Verkauf von W verbundene Risiko durch Wahl eines
geeigneten Portfolios θ zumindest reduzieren Man spricht von Absicherung eines Derivats
(englisch hedging).
• Können für nicht erreichbare Auszahlungen zumindest Preisschranken angegeben werden
2.4.1 Preisschranken für nicht erreichbare bedingte Auszahlungen
Wir beginnen mit der zweiten Fragestellung. Hier haben wir folgendes allgemeines Ergebnis.
Proposition 2.4.1. Betrachte einen arbitragefreien Markt (D, S) und eine bedingte Auszahlung
W . Nimm an, dass W nicht erreichbar ist. Bezeichne mit ˜Ψ die Menge aller Zustandspreise.
Dann ist jeder Preis im offenen Intervall
(
inf{ψ ′ W : ψ ∈ ˜Ψ} , sup{ψ ′ W : ψ ∈ ˜Ψ}
)
(2.11)
vereinbar mit Abwesenheit von Arbitrage.
Beweis. Falls W nicht erreichbar ist, so zeigt man analog zum Beweis des 2. Fundamentalsatzes,
dass inf ψ∈ ˜Ψ
ψ ′ W < sup ψ∈ ˜Ψ
ψ ′ W . Sei nun ein Preis ˜S für W aus dem offenen Intervall
(2.11) gegeben. Aufgrund der Konvexität der Menge ˜Ψ aller Zustandspreise folgt unmittelbar
die Existenz von ψ ∈ ˜Ψ mit ˜S = ψ ′ W und somit die Behauptung.
Es gibt eine Reihe von sinnvollen und interessanten Ansätzen zur Bestimmung von Absicherungsstrategien,
durch die das mit dem Verkauf einer bedingten Auszahlung verbundene Risiko
vermindert werden kann. Im folgenden werden wir zwei derartige Ansätze diskutieren, Superreplikation
und das sogenannte Quadratic Hedging
2.4.2 Superreplikation
In der folgenden Definition verallgemeinern wir den Begriff der Erreichbarkeit.
Definition 2.4.2. Gegeben sei eine bedingte Auszahlung W . Ein Superreplikationsportfolio für
W ist ein Portfolio θ mit Dθ ≥ W .
Der Preis des Superreplikationsportfolios ist durch S ′ θ gegeben. Der Verkäufer einer bedingten
Auszahlung W , beispielsweise einer Option, kann das mit dem Verkauf der Option verbundene
Risiko vollständig eliminieren, indem er einer Superreplikationsstrategie θ folgt; die dadurch
entstehenden Kosten in t = 0 sind durch den Wert V θ
0 des Portfolios gegeben. Superreplikationsstrategien
führen allerdings unter Umständen zu sehr hohen Kosten für die Risikoelimination.