Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.5 Einführung in die Portfoliooptimierung 30
Zur Bestimmung des Paars W ∗ , λ ∗ aus (ii) (und somit zur Lösung von Problem 1) wählen wir
λ ∗ so, dass für W ∗ (λ) aus (2.22) gilt, dass E Q (W (λ ∗ )) = (1 + r)V 0 ; dieses Problem ist lösbar,
da mit I auch Wk ∗ fallend in λ für alle k.
Beispiel (Exponentielle Nutzenfunktion). Wir betrachten die Erwartungsnutzenfunktion
u(x) = 1 − e −x . Für diese Funktion gilt −u ′′ (x)/u ′ (x) = 1, unabhängig von x. Die Maßzahl
−u ′′ (x)/u ′ (x) wird oft als Maß der Risikoaversion eines Investors interpretiert; u hat also konstante
Risikoaversion unabhängig von x.
Wir erhalten aus u ′ (x) = exp(−x), dass I(x) = − ln x. Damit erhalten wir für W ∗ (λ) in (2.22)
(
Wk ∗ (λ) = − ln λ q )
( )
k
qk
= − ln λ − ln , k = 1, . . . , K, (2.23)
p k p k
bzw. kompakter W ∗ = − ln λ − ln
(
dQ
dP
)
. Der Parameter λ ∗ wird durch die Gleichung
(
(1 + r)V 0 = E Q − ln(λ ∗ dQ )
(
dP ) = − ln λ ∗ − E Q ln dQ )
dP
(
)
bestimmt, so dass λ ∗ = exp −(1 + r)V 0 − E Q (ln dQ
dP ) . Damit erhalten wir für das optimale
Endvermögen W ∗ = W ∗ (λ ∗ ) mittels (2.23)
(
Wk ∗ = (1 + r)V 0 + E Q ln dQ )
− ln q k
, k = 1, . . . , K. (2.24)
dP p k
Bemerkung:
1. E Q (ln dQ
dP
) ist die relative Entropie von Q und P , ein Maß für den Abstand der beiden
Maße.
2. Das optimale Vermögen W ∗ in (2.23) hängt nur durch die additive Konstante (1+r)V 0 vom
Anfangsvermögen V 0 ab; dies reflektiert die speziellen Eigenschaften der exponentiellen
Nutzenfunktion u.