Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 44
i) Für jedes i = 1, . . . , n gilt |Y n
i | ≤ Kn für eine Konstante K n mit K n n→∞ −→ 0,
ii) Für jedes feste n sind die Zufallsvariablen (Y n
i ) 1≤i≤n iid.
iii) Für Z n := ∑ n
i=1 Y i
n gilt E(Z n ) n→∞ −→ µ, var(Z n ) n→∞ −→ σ 2 .
Dann konvergiert die Folge (Z n ) n∈N in Verteilung gegen eine normalverteilte Zufallsvariable mit
Erwartung µ und Varianz σ 2 .
Anwenden von Lemma 3.5.1 liefert also
ln S n (T )
d
−→ N (ln S 0 + rT, σ 2 T ) für n → ∞, (3.22)
was bedeutet, dass für jede beschränkte und stetige Funktion f : R → R gilt
(
E f ( ln S n (T ) )) ∫
n→∞
−→
(
1 (x − ln
f(x) √
2σ 2 T exp S0 − rT ) 2 )
2σ 2 dx.
T
3.5.2 Konvergenz unter dem Martingalmaß
Zunächst betrachten wir die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten im Modell mit n Intervallen
an. Diese sind gegeben durch
Lemma 3.5.2. Es gilt
q n = er∆n − d n
u n − d n
=
insbesondere also lim
n→∞ q n = 1 2 .
e r∆n − e r∆n−σ√ ∆ n
e r∆ n+σ √ ∆ n − e r∆ n −σ √ ∆ n
= 1 − e−σ√ ∆ n
e σ√ ∆ n − e −σ √ ∆ n
.
q n = 1 2 − σ 4
√
∆n + O(∆ n ), (3.23)
Beweis: Für x → 0 gilt e x = 1 + x + x2
2 + O(x3 ) und wir erhalten
q n =
1 − e −σ√ ∆ n
e σ√ ∆ n − e −σ √ ∆ n
1 − (1 − σ √ ∆ n + σ2 ∆ n
2
+ O(∆ 3/2
n ))
=
(1 + σ √ ∆ n + σ2 ∆ n
2
+ O(∆n
3/2 )) − (1 − σ √ ∆ n + σ2 ∆ n
2
+ O(∆ 3/2
n ))
= σ√ ∆ n − σ2 ∆ n
2
+ O(∆ 3/2
n )
2σ √ ∆ n + O(∆ 3/2 = 1
n ) 2 − σ √
∆n + O(∆ n ).
4
Wir wollen wieder den zentralen Grenzwertsatz für Dreiecksschemata anwenden und berechnen
nun den Erwartungswert und die Varianz der log-returns unter dem Martingalmaß Q.
Lemma 3.5.3. Unter dem risikoneutralen Maß Q gilt:
)
E Q (ln ξi n ) =
(r − σ2
∆ n + O(∆ 3/2
n )
2
var Q (ln ξ n i ) = σ 2 ∆ n + O(∆ 3/2
n ).