Vorlesungsskript Finanzmathematik I

A.2 Stoppzeiten und Optionales Stoppen 68
Theorem A.2.6. Sei (S n ) n∈N ein Martingal und σ, τ zwei Stoppzeiten mit P(σ ≤ K) = P(τ ≤
K) = 1 und σ ≤ τ. Dann gilt
E(S τ |F σ ) = S σ . f.s.
Beweis. Zunächst ist S σ F σ -m.b. Und S τ integrierbar, da
K∑ ∣ ∣∣ ∑
K
E|S τ | = E∣
1 {τ=k} S k ≤ E|S k | < ∞.
k=1
k=1
Wir zeigen für alle F ∈ F σ , dass ∫ ∫
S τ dP = S σ dP.
F
F
Wir schreiben ¯F = Ω\F . Definiere
ρ F = σ1 F + τ1 ¯F
Da {ρ F ≤ n} = (F ∩ {σ ≤ n}) ∪ ( ¯F ∩ {τ ≤ n}) ∈ F n ist ρ F wieder eine Stoppzeit und so
E(1 F S τ = E(1 F S σ )
⇔ E ( ) ( )
1 F S τ + 1 ¯F S σ = E 1F S σ + 1 ¯F S σ = E(Sσ )
Die linke Seite ist aber gerade E(S ρF ). Nach Satz A.2.3 ist aber E(S ρF ) = E(S 1 ) = E(S σ ).
Man kann also die Martingaleigenschaft auch durch noch so geschicktes Stoppen nicht austricksen.
Durch die Rückrichtung erhält man eine wichtige Charakterisierung von Martingalen.
Satz A.2.7. Sei (S n ) n∈N eine adaptierter Prozess mit E|S n | < ∞. Ist weiterhin E(S τ ) = E(S 1 )
für alle beschränkte Stoppzeiten τ, so ist S ein Martingal.
Beweis. Betrachte m ≥ n und F ∈ F m . Wir zeigen
E(S m 1 F ) = E(S n 1 F ).
Wieder können wir eine geeignete Stoppzeit definieren, und zwar
ρ F := m1 F + n1 ¯F .
Dann ist ρ F eine Stoppzeit! Obige Gleichung ist äquivalent zu
E(S m 1 F + S n 1 ¯F ) = E(S n ) = E(S 1 ).
Die linke Seite ist aber gerade E(S ρF ) = E(S 1 ).
Ein gestopptes Martingal ist wieder ein Martingal.
Satz A.2.8. Ist (S n , F n ) ein Martingal, so ist (S τ∧n , F n ) wieder ein Martingal.
Beweis. τ ∧ n ist eine Stoppzeit, also ist nach Satz A.2.5 S τ∧n adaptiert.
Sei m ≥ n. Wir unterscheiden {τ > n} und {τ ≤ n}.
)
E(S τ∧m |F n ) = E
(1 {τ≤n} S τ + 1 {τ>n} S τ∧m |F n
= 1 {τ≤n} S τ + E ( )
1 {τ>n} S τ∧m |F n