Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.2 Arbitragefreiheit und Zustandspreise/ Martingalwahrscheinlichkeiten 20
Interpretation der Zustandspreise. Betrachte einen erweiterten Markt, auf dem neben den
Wertpapieren a 1 , . . . , a N auch noch fiktive Wertpapiere mit Auszahlung e k , 1 ≤ k ≤ K , gehandelt
werden, wobei e k den k-ten Einheitsvektor in R K bezeichnet. Diese fiktiven Wertpapiere
sind auch unter dem Namen Arrow-Debreu Securities bekannt. Für ein ökonomisch sinnvolles
Preissystem ψ für die Arrow-Debreu securities müssen die folgenden beiden Bedingungen gelten.
(i) Positivität, d.h. ψ k > 0 für alle 1 ≤ k ≤ K.
(ii) Kompatibilität mit den Preisen der gehandelten Wertpapiere. Einerseits lässt sich jede
Auszahlung W als Linearkombination der Arrow-Debreu securities darstellen; dies führt
auf den Preis ψ ′ W für W . Für eine erreichbare Auszahlung W = Dθ ist alternativ
der Preis durch S ′ θ gegeben. Kompatibilität bedeutet somit, dass für alle erreichbaren
Auszahlungen die Identität ψ ′ W = S ′ θ gelten muss.
Gemäß Lemma 2.2.3 ist ein Vektor von Zustandspreisen also gerade ein ökonomisch sinnvolles
Preissystem für die Arrow-Debreu securities.
Satz 2.2.4 (1. Fundamentalsatz der Wertpapierbewertung). Ein durch Auszahlungsmatrix D
und Preis S gegebener Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn mindestens ein Vektor von
Zustandspreisen existiert.
Wir beweisen in dem Kapitel über Mehrperiodenmodelle einen deutlich allgemeineren Satz und
verweisen an dieser Stelle darauf.
Beispiel: Wir betrachten einen Wertpapiermarkt mit 3 Wertpapieren und 2 Zuständen. Es
gelte:
( ) 4 6 2
D =
, S ′ = (7, 3, 5).
12 3 9
Wir wollen zeigen, dass der durch (D, S) gegebene Wertpapiermarkt arbitragefrei ist. Nach dem
ersten Fundamentalsatz müssen wir zeigen, dass es einen Vektor von Zustandspreisen ψ gibt
mit ψ 1 , ψ 2 > 0. Die Gleichung für ψ lautet:
bzw. bereits etwas umgeformt:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 12 ( ) 7
⎝6 3 ⎠ ψ1
= ⎝3⎠ ,
ψ
2 9 2
5
4ψ 1 + 12ψ 2 = 7 (2.6)
6ψ 1 + 3ψ 2 = 3 (2.7)
8ψ 2 = 4. (2.8)
Gleichung (2.8) und (2.7) liefern uns das Resultat ψ 2 = 1/2, ψ 1 = 1/4. Man überprüft sofort, dass
diese Zahlen auch Gleichung (2.6) erfüllen. Der Zustandspreisvektor ist somit gleich (1/4, 1/2) ′ .
Bewertung von erreichbaren bedingten Auszahlungen. Die folgende Proposition zeigt,
dass auf einem arbitragefreien Markt der Preis einer erreichbaren bedingten Auszahlung W =
D · θ durch den Preis S ′ θ eines Replikationsportfolios θ gegeben ist.
Proposition 2.2.5. Betrachte einen arbitragefreien Markt (D, S) und eine erreichbare Auszahlung,
W = D · θ. Dann ist der Markt mit Auszahlungsmatrix ˜D = (D, W ) ∈ R K×(N+1) und
Preis ˜S = (S, S N+1 ) ′ ∈ R N+1 arbitragefrei ⇔ S N+1 =S ′ θ.