Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.3 Eindeutigkeit von Zustandspreisen und Marktvollständigkeit 22
Die Proposition zeigt, dass sich Zustandspreise und risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße eineindeutig
entsprechen. Insbesondere ist also nach dem 1. Fundamentalsatz die Arbitragefreiheit
eines Marktes äquivalent zur Existenz eines risikoneutralen Maßes.
Beweis: 1) Das W-maß Q ist offensichtlich wohldefiniert; darüber hinaus gilt q k > 0 für alle
k. Wir müssen die risk-neutral pricing rule (2.9) überprüfen. Sei W = Dθ eine erreichbare
Auszahlung. Dann gilt für deren Preis S ′ θ nach Lemma 2.2.3:
S ′ θ =
K∑
k=1
( K
)
∑ ∑ K
ψ k W k = ψ k q k W k . (2.10)
k=1 k=1
Nun ist ∑ K
k=1 ψ k der Preis des risikoneutralen Portfolios mit Auszahlung (1, . . . , 1) ′ . Also gilt
S ′ θ = (1 + r) −1 ∑ K
k=1 q kW k .
2) Wir müssen zeigen, dass ψ die Gleichung S = D ′ ψ löst. Nach der risk-neutral pricing
rule (2.9) und der Definition von ψ gilt für jede erreichbare Auszahlung die Gleichung
S ′ θ = 1
1 + r
K∑
q k W k = ψ ′ W ,
k=1
so dass die Behauptung unmittelbar aus Lemma 2.2.3 folgt.
2.3 Eindeutigkeit von Zustandspreisen und Marktvollständigkeit
Gemäß Definition 2.1.3 heisst ein Wertpapiermarkt mit Auszahlungsmatrix D vollständig, wenn
jede bedingte Auszahlung W erreichbar ist. Im folgenden Satz geben wir eine Charakterisierung
vollständiger Märkte.
Satz 2.3.1 (2. Fundamentalsatz der Wertpapierbewertung). Sei (D, S) ein arbitragefreier Markt.
Dann gilt: Es gibt genau einen Vektor von Zustandspreisen genau dann, wenn der Markt
vollständig ist.
Aus Proposition 2.2.7 folgt unmittelbar, dass Marktvollständigkeit auch äquivalent ist zur Eindeutigkeit
des risikoneutralen Maßes.
Wir verweisen wieder auf den Beweis im Falle von Mehrperiodenmodellen.
Bemerkung: Der Beweis von Satz 2.3.1 stützt sich im wesentlichen auf die aus der linearen
Algebra bekannte Identität ker D ′ = (im D) ⊥ .
Beispiel 2.3.2. Trinomialmodell. Wie in Beispiel 2.1.2 betrachten wir einen Markt mit
⎛ ⎞
1 180
D = ⎝1 150⎠ , und S = (1, 150) ′ .
1 120
Wir wissen bereits, dass der Markt unvollständig ist. Im folgenden bestimmen wir alle Zustandspreise/Martingalmaße.
Die Bedingung S = D ′ ψ führt auf das LGS
180ψ 1 + 150ψ 2 + 120ψ 3 = 150
ψ 1 + ψ 2 + ψ 3 = 1, ψ i > 0.
Das LGS führt auf Lösungen der Form ψ 1 = ψ 3 , ψ 2 = 1 − 2ψ 3 , die Bedingung ψ i > 0 also auf
Zustandspreise der Form ψ = { (α, 1 − 2α, α), α ∈ ( 0, 1 2)}
.