Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.2 Arbitragefreiheit und Martingalmaße 35
definiert man also ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q, für welches
E Q ( ˜G θ N) =
K∑
q k ˜Gθ N (ω k )
k=1
1
( K
= ∑ K
i=1 F (e i) F ∑ )
e k ˜Gθ N (ω k ) = 0,
da das Argument auf welches F angewendet wird in M liegt. Damit ist ˜G N nach Lemma 3.2.5
ein Martingal und somit Q das gesuchte äquivalente Martingalmaß.
k=1
Die risikoneutrale Bewertungsformel. Wir behandeln nun die Bewertung von bedingten
Auszahlungen (contingent claims). Dabei verstehen wir unter einem contingent claim mit
Fälligkeit T ∈ {1, . . . , N} eine F T -messbare Zufallsvariable. Dies können z.B. Derivate sein,
deren Auszahlung durch eine Funktion des Kursverlaufs bestimmter Wertpapiere gegeben ist.
Definition 3.2.7. Gegeben sei ein Finanzmarktmodell M.
1.) Ein contingent claim H mit Fälligkeit T heißt erreichbar, falls es eine selbstfinanzierende
Handelsstrategie θ gibt, so dass V θ T
= H gilt; dieses θ nennt man Replikationsstrategie für
H.
2.) Sei M arbitragefrei und H ein erreichbarer claim mit Replikationsstrategie θ. Dann ist
der faire Preis von H in t ≤ T durch die Replikationskosten V θ
t gegeben.
Satz 3.2.8 (risk-neutral pricing). Gegeben sei ein arbitragefreier Markt M und ein erreichbarer
contingent claim H mit Fälligkeit T . Desweiteren sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann
ist der Preis von H in t ≤ T gegeben durch
H t := S t,0 E Q( H
∣ ) ∣∣ Ft . (3.7)
S T,0
Bemerkung. Gleichung (3.7) ist die risikoneutrale Bewertungsformel (risk-neutral pricing rule).
Gilt speziell S t,0 = ∏ t
s=1 (1 + r s) für einen previsiblen Zinsprozess (r t ) t=1,...,N mit Werten in
[0, ∞), so gilt
H t = E Q(
T ∏
s=t+1
H
1 + r s
∣ ∣ Ft
)
.
Beweis von Satz 3.2.8: Sei θ eine Replikationsstrategie für H. Wir zeigen, dass in t ≤ T die
Identität
gilt. Setze ˜H :=
V θ
t
= S t,0 E Q( H
S T,0
∣ ∣∣ Ft
)
H
S T,0
. Es gilt V θ T = H und somit Ṽ θ T = ˜H. Wir haben also die Darstellung
˜H = Ṽ θ T
= Ṽ θ
t + ˜G θ T − ˜G θ t .
Wie in Lemma 3.2.3 gezeigt wurde, ist ˜G θ ein Q-Martingal. Damit folgt
E Q( ˜H
∣ ∣ Ft
)
= Ṽ θ
t
+ E Q( ˜Gθ T − ˜G θ t
(3.8)
∣ F t
)
= Ṽ θ
t . (3.9)
Multiplikation von (3.9) mit S t,0 liefert (3.8) und somit die Behauptung.
Folgerung.