Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 47
Bemerkung. Der Ausdruck (3.25) ist die Black-Scholes Formel für eine europäische Call-Option.
)
Beweis: Nach Lemma 3.5.5 ist zu zeigen, dass (3.25) gleich e −rT E
((e Z T
− K) + ist. Wir
definieren
)
α := √ e−rT
2πσ 2 T , µ := ln S 0 +
(r − σ2
T, ˜σ := σ √ T ,
2
und erhalten
(
e −rT E (e Z T
− K) +) ∫ ∞
= α
= α
−∞
∫ ∞
(
e x − K ) )
+ (x − µ)2
exp
(−
2˜σ 2 dx
)
e x (x − µ)2
exp
(−
2˜σ 2 dx
ln K
} {{ }
=:I 1
∫ ∞
)
(x − µ)2
− K α exp
(−
2˜σ 2 dx
ln K
} {{ }
=:I 2
.
Wir berechnen im folgenden das Integral I 1 . Durch eine quadratische Ergänzung stellt man den
Integranden als Produkt einer Normalverteilungsdichte ( ) und eines variablenfreien Korrekturterms
dar. Der Integrand von I 1 hat die Form exp λ(x) mit
(x − µ)2
λ(x) = x −
2˜σ 2 = − −2˜σ2 x + x 2 − 2µx + µ 2
2˜σ
(
) 2
2 )
x − (µ + ˜σ 2 ) +
(µ 2 − (µ + ˜σ 2 ) 2
= −
2˜σ
(
2
) 2
x − (ln S 0 + (r + σ2
2 )T ) = −
2σ 2 + (ln S 0 + rT ),
T
wobei man die letzte Gleichheit durch einsetzen von µ+ ˜σ 2 = ln S 0 +(r + σ2
2 )T und (µ+˜σ2 ) 2 −µ 2
µ + ˜σ2
2 = ln S 0 + rT erhält. Unter Beachtung von αe ln S0+rT 1
= √ S 2πσ 2 0 folgt
T
I 1 =
S 0
√
2πσ 2 T
∫ ∞
ln K
2˜σ 2 =
(
(
) 2
x − (ln S 0 + (r + σ2
2 )T ) )
exp −
2σ 2 dx. (3.28)
T
Betrachten ( wir nun eine normalverteilte ) Zufallsvariable ˜Z mit
˜Z ∼ N ln S 0 + (r + σ2
2 )T, σ2 T , dann ist ˜Z−ln S 0 −(r+σ 2 /2)T
σ √ T
lässt sich schreiben als
∼ N (0, 1) und Gleichung (3.28)
I 1 = S 0 P ˜Z > ln K)
( ˜Z − ln S0 − (r + σ 2 /2)T
= S 0 P
σ √ T
( ˜Z − ln S0 − (r + σ 2 /2)T
= S 0 P
σ √ T
)
= S 0
(1 − Φ(−d 1 ) = S 0 Φ(d 1 ),
> ln K − ln S 0 − (r + σ 2 /2)T
σ √ T
)
> −d 1
)
wobei man die Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung ausnutzt. Die Berechnung
von Integral I 2 geht analog, hier kann sogar auf die quadratische Ergänzung verzichtet werden.