Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.2 Arbitragefreiheit und Zustandspreise/ Martingalwahrscheinlichkeiten 19
2.2 Arbitragefreiheit und Zustandspreise/ Martingalwahrscheinlichkeiten
2.2.1 Arbitragefreiheit und Zustandspreise
Möchte man in t = 0 Wertpapiere kaufen, so hat man dafür einen gewissen Preis zu zahlen. Die
Preise für die N Wertpapiere seien gegeben durch den Vektor S = (S 1 , . . . , S N ) ′ ∈ R N . So ist
S n der Preis, den man im Zeitpunkt t = 0 zahlen muss, um in T die Wertschrift a n zu erlangen.
Der Preis eines Portfolios θ bzw. sein Wert im Zeitpunkt t = 0 ist somit offensichtlich gegeben
durch
V θ
0 := S ′ θ = 〈S, θ〉 =
N∑
S n θ n . (2.4)
Bei gegebener Modellstruktur ist ein Markt durch ein Paar (D, S), D die Auszahlungsmatrix
und S der Preisvektor in t = 0, beschrieben. Wir wollen zunächst die Frage untersuchen, welche
Preissysteme bei gegebener Auszahlungsmatrix D keine Arbitrage zulassen, da nur solche Preise
mit einem Gleichgewicht auf dem Kapitalmarkt vereinbar sind.
Definition 2.2.1 (Arbitrage im Einperiodenmodell). Wir betrachten den Markt (D, S). Eine
Arbitragemöglichkeit ist ein Portfolio θ = (θ 1 , . . . , θ N ) ′ mit
n=1
(i) V θ
0 = S′ θ ≤ 0, d.h. in t = 0 ist der Preis des Portfolios ≤ 0.
(ii) ∑ N
n=1 a n(ω k )θ n ≥ 0, 1 ≤ k ≤ K, d.h. die Auszahlung von θ ist in jedem Zustand ω k ∈ Ω
nicht-negativ.
(iii) Es gilt S ′ θ < 0, oder es gibt ein k mit ∑ N
n=1 a n(ω k )θ n > 0.
Ein Markt (D, S) heisst entsprechend arbitragefrei, wenn es keine Arbitragemöglichkeit gibt.
Unser Ziel ist die Charakterisierung von arbitragefreien Preissystemen zu gegebener Auszahlungsmatrix
D. Dazu brauchen wir folgende Definition.
Definition 2.2.2. Ein Vektor von Zustandspreisen für den durch eine Auszahlungsmatrix D und
ein Preisvektor S gegebenen Markt ist ein Vektor ψ ∈ R K mit ψ k > 0, ∀k ∈ {1, . . . , K}, der
die Gleichung S = D ′ ψ löst, wobei D ′ die transponierte Matrix von D bezeichnet.
Betrachte eine erreichbare bedingte Auszahlung W = Dθ. Ein Kandidat für den Preis dieser
Auszahlung in t = 0 ist der Preis S ′ θ des Replikationsportfolios θ. Das folgende Lemma zeigt,
dass sich dieser Preis auch mit Hilfe von Zustandspreisen ausdrücken lässt.
Lemma 2.2.3. Gegeben sei ein Vektor ψ ∈ R K mit ψ k > 0 für alle k. Dann ist ψ genau dann
ein Vektor von Zustandspreisen, wenn für jede erreichbare bedingte Auszahlung W = Dθ die
Identität ψ ′ W = S ′ θ gilt.
Beweis: Es gilt wegen W = Dθ nach Definition der transponierten Abbildung
ψ ′ W = 〈ψ, Dθ〉 = 〈D ′ ψ, θ〉 . (2.5)
Falls ψ ein Vektor von Zustandspreisen ist, so gilt S = D ′ ψ, und die linke Seite von (2.5) ist
gleich S ′ θ. Gilt umgekehrt die Identität ψ ′ W = S ′ θ, so folgt aus (2.5), dass 〈D ′ ψ, θ〉 = 〈S, θ〉
für alle θ ∈ R N , und somit die Identität S = D ′ ψ.