Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 48
3.5.4 Eigenschaften von Call- und Putpreisen
Neben der Black-Scholes Formel für eine Europäischen Call
C 0 = S 0 Φ(d 1 ) − Ke −rT Φ(d 2 )
lässt sich mittels der Put-Call-Parität auch eine Formel zur Berechnung des Putpreises angeben,
P 0 = −S 0 Φ(−d 1 ) + Ke −rT Φ(−d 2 ),
wobei d 1 und d 2 in (3.26) bzw. (3.27) definiert sind. Die folgenden beiden Bilder zeigen den Callbzw.
Putpreis in Abhängigkeit des Aktienwertes.
Preis einer Call−Option in t im Black−Scholes Modell (K=100, r=0.03, sigma=0.2)
Preis einer Put−Option in t im Black−Scholes Modell (K=100, r=0.03, sigma=0.2)
T=0
T=0
T=0.25
T=0.25
20
T=0.5
20
T=0.5
T=0.75
T=0.75
T=1
T=1
15
15
10
10
5
5
0
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S_0
0
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S_0
Die hedge ratio. Wir erinnern uns an das Hedging im Binomialmodell. In (3.16) und (3.17)
haben wir gezeigt, dass wir im Zeitpunkt t das replizierendes Portfolio zu einem Anteil von θ t,1
aus der Aktie bestehen muss mit
θ t+1,1 = C t+1(u) − C t+1 (d)
.
S t (u − d)
Schaut man sich θ t+1,1 genauer an, so sieht man, dass θ t+1,1 die diskrete Ableitung von C
bezüglich S ist,
θ t+1,1 = ∆C t+1
≈ ∂C
∆S t+1 ∂S . (3.29)
Im Black-Scholes Modell erhält man für θ 1 also die Ableitung bezüglich des Aktienpreises. Für
eine mathematisch korrekte Herleitung werden allerdings Hilfsmittel der stetigen Finanzmathematik
benötigt. Die Ableitung des Optionspreises bzgl. des Aktienkurses wird auch als Delta
oder hedge ratio bezeichnet. Eine durchaus nicht ganz triviale Rechnung zeigt (!)
∆ C = ∂C
∂S = Φ(d 1)
∆ P = ∂P
∂S = −Φ(−d 1)
Bemerkung. Es ist ∆ P = ∆ C − 1.
Nun kann man sich auch für die Sensitivität von Delta interessieren, d.h. wie sensitiv ist unser
Hedge bezüglich Änderungen des Aktienpreises. Diese Sensitivität wird duch Gamma ausgedrückt.
Sei ϕ die Dichte der Standardnormalverteilung. Wir erhalten
Γ C = = ∂∆ C
∂S
Γ P = ∂∆ P
∂S = Γ C.
= ∂2 C
∂S 2 = ϕ(d 1)
S 0 σ √ T