Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 46
( )
• Erwartungswert und Varianz. Es gilt E(S) = exp µ + σ2
2
σ 2)( e σ2 − 1 ) .
und var(S) = exp ( 2µ +
3.5.3 Die Black-Scholes Formel
Lemma 3.5.5. Für n → ∞ konvergiert der Preis einer europäischen Call-Option gegen e −rT E
(
)
K)
), + wobei Z T ∼ N ln S 0 + (r − σ2
2 )T, σ2 T .
Beweis: Idee: Der Call-Preis im Modell mit n Diskretisierungen ist als Erwartungswert der
diskontierten Endauszahlung unter dem Martingalmaß gegeben,
(
)
C0 n = e −rT E (e Zn T − K)
+
, ZT n = ln ST n .
Die Behauptung folgt also aus der Definition der schwachen Konvergenz. Ein Problem stellt sich
jedoch, da die Auszahlung eines Calls zwar stetig, aber unbeschränkt ist, so dass der zentrale
Grenzwertsatz nicht direkt angewendet werden kann. Via Put-Call-Parität kann dieses Problem
gelöst werden.
Technische Details: Für einen Put gilt wegen der Beschränktheit der Auszahlungsfunktion
P n 0 = e −rT E
(
) (K − e Zn T )
+ n→∞
−→
e −rT E
(
(K − e Z T
) +) =: P 0 .
(
)
( )
Da e Z T
∼ LN ln S 0 +(r− σ2
2 )T, σ2 T , erhalten wir für den Aktienkurs e −rT E e Z T
= S 0 = S0 n.
Aus der Put-Call-Parität für das Modell mit n Diskretisierungen folgt
Weiterhin ist
C n 0 = S 0 − Ke −rT + P n 0
n→∞
−→ S 0 − Ke −rT + P 0 .
[ (
P 0 + S 0 − e −rT K = e −rT E (K − e Z T
) +) ]
+ e rT S 0 − K
(
)
= e −rT E (K − e Z T
) + + e Z T
− K
(
= e −rT E (e Z T
− K) +) ,
(
(e Z T
−
und die Behauptung folgt.
Jetzt können wir unser Hauptergebnis formulieren.
Satz 3.5.6. Gegeben sei eine Folge von Binomialmodellen mit
u n = exp
(r∆ n + σ √ )
∆ n , d n = exp
(r∆ n − σ √ )
∆ n , ∆ n = T n
und stetiger Verzinsung mit Zinssatz r. Dann konvergiert der Preis einer Europäischen Call-
Option mit Ausübungspreis K und Fälligkeit T für n → ∞ gegen
C 0 := S 0 Φ(d 1 ) − Ke −rT Φ(d 2 ), (3.25)
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist und
ln ( S 0
) )
K +
(r + σ2
2
T
d 1 :=
, (3.26)
σ √ T
d 2 := d 1 − σ √ T =
ln ( S 0
K
)
+
(r − σ2
2
σ √ T
)
T
. (3.27)