Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.5 Einführung in die Portfoliooptimierung 27
2.5 Einführung in die Portfoliooptimierung
2.5.1 Problemstellung
Gegeben sei ein Markt (D, S) und ein Investor mit Vermögen V 0 . Dieser möchte ein optimales
Portfolio θ ∗ mit heutigem (t = 0) Preis S ′ θ ∗ = V 0 so bestimmen, dass der Nutzen des Investors
aus der Auszahlung W ∗ = Dθ ∗ des Portfolios maximal ist. Dabei bestimmt der Investor den
Nutzen einer zufälligen Auszahlung gemäß dem sogenannten Erwartungsnutzenkriterium.
Das Erwartungsnutzenkriterium. Wir nehmen an, dass der Investor (subjektive) Eintrittswahrscheinlichkeiten
über die Zustände ω k gebildet hat; diese seien mit P = (p 1 , . . . , p K ) bezeichnet
und es gelte p k = P ({ω k }) > 0 für alle k. Beachte, dass P kein Martingalmaß sein muss.
Außerdem sei eine sogenannte Nutzenfunktion u : R → R gegeben; u sei glatt, streng monoton
wachsend und konkav, d.h. es gelte u ′ > 0, und u ′′ < 0. Unter dem Erwartungsnutzenkriterium
ist der Nutzen einer zufälligen Auszahlung W gegeben durch
Bemerkungen.
K∑
U(W ) := E P (u(W )) = p k u(W k ). (2.15)
k=1
• Typische Nutzenfunktionen sind u(x) = 1 − exp(−αx), α > 0, α −1 x α , α ∈ (−∞, 1)\{0},
α −1 (x α − 1), α < 1, wobei letzere Nutzenfunktion für α → 0 gegen u(x) = log(x) konvergiert.
• Die Annahme u ′ > 0 impliziert, dass für zwei Auszahlungen W 1 ≤ W 2 die Ungleichung
U(W 1 ) ≤ U(W 2 ) gilt.
• Die Annahme u ′′ < 0 modelliert Risikoaversion des Investors. Speziell gilt wegen der
Konkavität von u für jede zufällige Auszahlung W nach der Jensenschen Ungleichung
U(W ) = E P (u(W )) ≤ u ( E P (W ) ) = U(E P (W )1),
wobei 1 = (1, . . . 1) ′ ∈ R K . Unter dem Erwartungsnutzenkriterium zieht ein Investor also
die sichere Auszahlung E P (W )1 der risikobehafteten Auszahlung W vor. Beachte, dass
beide Auszahlungen den gleichen Erwartungswert haben.
Das Portfoliooptimierungsproblem. Mit diesen Begriffen können wir nun das Optimierungsproblem
unseres Investors wie folgt formulieren: Bestimme ein Portfolio θ ∗ ∈ R N mit
S ′ θ ∗ = V 0 (die sogenannte Budgetbedingung), so dass
U(Dθ ∗ ) = max{U(Dθ) : θ Portfolio mit S ′ θ = V 0 }. (2.16)
Zur Lösung dieses Problems machen wir die folgenden Annahmen.
• Das Modell (D, S) ist arbitragefrei (andernfalls hat das Problem (2.16) keine Lösung, da
ein Investor einen unendlich großen Nutzen erzielen kann).
• Wertpapier N ist risikofrei, d. h. d kN = 1 ∀k = 1, . . . K; S N ist dann gleich dem Preis der
Nullkuponanleihe B(0, T ) und es gilt S N = 1/(1+r). Diese Annahme dient im wesentlichen
der Vereinfachung der Darstellung.