Vorlesungsskript Finanzmathematik I

A.3 Doob-Zerlegung und Supermartingale 69
Definiere
ρ n := 1 {τ>n} τ ∧ m + n1 {τ≤n} .
Dann ist ρ n eine Stoppzeit und ρ n ≥ n, also E(S ρn |F n ) = S n und deswegen
∣ )
E
(1 {τ>n} S τ∧m + 1 {τ≤n} S n − 1 {τ≤n} S n F n = E(S ρn |F n ) − 1 {τ≤n} S n = 1 {τ>n} S n .
Zusammenfassend folgt E(S τ∧m |F n ) = S τ∧n .
A.3 Doob-Zerlegung und Supermartingale
Im folgenden betrachten wir einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit einer Filtration (F n ) n∈N .
Satz A.3.1. Sei X n , n = 0, 1, 2, . . . eine Folge von integrierbaren, adaptierten Zufallsvariablen.
Dann gibt es für jedes n ∈ N genau eine Zerlegung von X n der Form
X n = M n + A n , wobei
(A.3)
1. (M n ) n∈N ein Martingal und
2. (A n ) n∈N ein previsibler Prozess mit A 0 = 0 ist.
Die Zerlegung ist induktiv gegeben durch
A 0 = 0, A n+1 = A n + E(X n+1 − X n | F n ).
(A.4)
Bemerkung. Diese Zerlegung heißt Doob-Zerlegung von X n . Man sieht leicht, dass
M n = M n−1 + X n − E(X n |F n−1 .
Beweis: Eindeutigkeit. Sei X n = M n + A n eine solche Zerlegung, dann folgt
E(X n+1 − X n | F n ) = E(M n+1 − M n | F n ) + E(A n+1 − A n | F n ) = 0 + A n+1 − A n , so dass A n+1
für gegebenes A n eindeutig bestimmt ist und somit auch M n+1 .
Existenz. Der Kandidat für A n ist previsibel. Außerdem gilt für M n := X n −A n durch Anwenden
von (A.4)
)
M n+1 − M n = X n+1 − X n − (A n+1 − A n ) = X n+1 − X n −
(A n + E(X n+1 − X n |F n ) − A n
und somit E(M n+1 − M n |F n ) = E(X n+1 − X n |F n ) − E(X n+1 − X n |F n ) = 0.
Folgerung. Ein adaptierter, integrabler Prozess (X n ) n∈N ist ein Supermartingal (Submartingal)
genau dann, wenn der Prozess (A n ) n∈N aus der Doob-Zerlegung monoton fallend (wachsend) ist.
Folgerung (Stoppsatz für Supermartingale). Sei (X n ) n∈N ein Supermartingal und τ eine
beschränkte Stoppzeit. Dann gilt
X 0 ≥ E(X τ ).
(A.5)
Beweis: Sei X n = M n +A n , die Doob-Zerlegung des Supermartingals X n ; dabei ist A n monoton
fallend, es gilt also A τ ≤ A 0 = 0. Nach dem Stoppsatz gilt E(M τ ) = M 0 , es folgt
E(X τ ) = E(M τ ) + E(A τ ) ≤ E(M τ ) = M 0 = X 0 .