Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.5 Einführung in die Portfoliooptimierung 28
2.5.2 Direkte Lösung mittels Bedingungen erster Ordnung
Um die Budgetbedingung S ′ θ = V 0 zu berücksichtigen, schreiben wir das Problem wie folgt um.
Wir betrachten nur die N − 1 riskanten Wertpapiere a 2 , . . . , a N und definieren die zugehörige
Auszahlungsmatrix durch ˜D k,n = D k,n , n = 2, . . . , N; der zugehörige Preis- und Portfoliovektor
seien durch ˜S := (S 2 , . . . , S N ) ′ und ˜θ := (θ 2 , . . . , θ N ) definiert.
Ein Portfolio θ = (θ 1 , ˜θ) ∈ R N ist genau dann zulässig (d.h. erfüllt die Budgetbedingung), wenn
θ 1 = (1 + r)(V 0 − ˜S ′˜θ). Wir können (2.16) also umschreiben zu
(
max U (1 + r)(V 0 − ˜S ′˜θ)1 )
+ ˜D˜θ . (2.17)
˜θ∈R N−1
Das Problem (2.17) ist nunmehr ein Optimierungsproblem ohne Nebenbedingungen; eine Lösung
muss also die Bedingungen erster Ordnung erfüllen. Ökonomisch gesehen berücksichtigen wir die
Budgetbedingung S ′ θ = V 0 durch Anpassen der Position im risikofreien Wertpapier N.
Lösen von (2.17) mittels Bedingungen erster Ordnung. Definiere die zu ˜θ ∈ R N−1
gehörige Auszahlung durch W (˜θ) := (1 + r)(V 0 − ˜S ′˜θ)1 + ˜D˜θ. Für n = 2, . . . , N muss für das
optimale Portfolio ˜θ ∗ gelten, dass
∂
∂ ˜θ n
U(W (˜θ ∗ )) = 0 , n = 2, . . . , N.
(Bedingungen erster Ordnung). Nach Definition von U, ˜D und ˜S folgt also aus den Bedingungen
erster Ordnung, dass
0 =
K∑
p k u ′ (W k (˜θ ∗ )) (−(1 + r)S n + D kn ) , n = 2, . . . N. (2.18)
k=1
Man kann nun versuchen, das Gleichungssystem (2.18) zu lösen; die Konkavität von u garantiert
dann, dass eine Lösung ˜θ ∗ ein Optimum ist. Dies ist allerdings im Allgemeinen rechnerisch
schwierig. Interessanter ist die ökonomische Interpretation von (2.18). Umschreiben von (2.18)
liefert die folgenden N − 1 Gleichungen:
1
( ) ( )
1 + r EP u ′ (W (˜θ ∗ ))a n = S n E P u ′ (W (˜θ ∗ )) , n = 2, . . . , N,
wobei a n den Auszahlungsvektor des n-ten Wertpapiers bezeichnet. Nach Umstellen erhalten
wir die Gleichung
⎛
⎞
S n = 1
1 + r EP ⎝ u′ (W (˜θ ∗ ))
)
E P
(u ′ (W (˜θ ∗ a n
⎠ , n = 2, . . . , N. (2.19)
))
Für n = N gilt (2.19) per Definition, da a n = 1. Durch Vergleich mit der risk-neutral pricing
rule (2.9) erhalten wir
Proposition 2.5.1. Sei W ∗ = Dθ ∗ die Auszahlung eines optimalen Portfolios. Dann ist durch
die Festlegung q k := p k u ′ (W ∗ k )/E P (u ′ (W ∗ k )) ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Q =
(q 1 , . . . , q K ) gegeben.