Vorlesungsskript Finanzmathematik I

17
Kapitel 2
Einperiodenmodelle zur
Wertpapierbewertung
2.1 Das Modell
In diesem Kapitel betrachten wir ein Einperiodenmodell unter Unsicherheit mit den folgenden
Eigenschaften.
Modellstruktur. Es gibt 2 Zeitpunkte, t = 0 und t = T . Handel von Wertpapieren findet in
t = 0 statt; die Auszahlung der Wertpapiere erfolgt in T . Im Zeitpunkt T sind K Zustände der
Welt mit positiver Wahrscheinlichkeit möglich; diese sind durch die Menge Ω = {ω 1 , . . . , ω K }
beschrieben. Da |Ω| = K < ∞, können wir eine Zufallsvariable X : Ω → R mit einem Vektor
X ∈ R K durch die Festlegung X k := X(ω k ), 1 ≤ k ≤ K, identifizieren; diese Identifikation wird
im folgenden häufig implizit verwendet.
Wertpapiere. Die einzige Möglichkeit Geld von t = 0 nach T zu transferieren, ist der Handel
von Wertpapieren. Es werden N Wertpapiere a 1 , . . . , a N gehandelt. Ein Wertpapier ist
vollständig beschrieben durch seine Auszahlung in den Zuständen ω k ∈ Ω im Zeitpunkt T .
Die Auszahlung des Wertpapiers n in Zustand k wird mit a n (ω k ) bezeichnet. Wir definieren eine
K × N-Matrix D (die Auszahlungsmatrix) durch d kn := a n (ω k ), also
⎛
⎞
a 1 (ω 1 ) · · · a N (ω 1 )
⎜
D = ⎝
.
. ..
⎟
. ⎠ .
a 1 (ω K ) · · · a N (ω K )
Portfolios. In diesem Modell entscheidet ein Investor also zur Zeit t = 0, wieviel er von
welchem Wertpaper kaufen bzw. verkaufen will. Dabei sind sogenannte Leerverkäufe (shortselling)
erlaubt, d.h. ein Marktteilnehmer hat die Möglichkeit in Aktien negative Positionen
zu beziehen. Ebenso kann er beliebig stückeln und beispielsweise 1/3 Aktien kaufen. Formal
beschreiben wir die Position eines Investors durch einen Vektor θ = (θ 1 , . . . , θ N ) ′ ∈ R N . Dabei
gibt für 1 ≤ n ≤ N die Zahl θ n an, wieviele Wertpapiere a n im Portfolio gehalten werden. Falls
θ n < 0 spricht man von einer short-position in Wertpapier n, falls θ n > 0 entsprechend von einer
long position.
Erreichbare Auszahlungen und Marktvollständigkeit. Die Auszahlung eines Portfolios
θ = (θ 1 , . . . , θ N ) ′ im Zustand ω k ist offensichtlich gegeben durch
N∑
N∑
W k := θ n a n (ω k ) = d kn θ n = (Dθ) k .
n=1
n=1