Vorlesungsskript Finanzmathematik I

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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 5
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Derivative Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Zinsen und Nullkuponanleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Terminverträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Bewertung von Terminverträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Vertragseigenschaften und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Wertgrenzen für Optionen: Der Fall ohne Dividenden . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Wertgrenzen für Optionen: Der Fall mit Dividenden . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Optionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Einperiodenmodell 17
2.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Arbitragefreiheit und Zustandspreise/ Martingalwahrscheinlichkeiten . . . . . . . 19
2.2.1 Arbitragefreiheit und Zustandspreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Zustandspreise und risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . . 21
2.3 Eindeutigkeit von Zustandspreisen und Marktvollständigkeit . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Unvollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Preisschranken für nicht erreichbare bedingte Auszahlungen . . . . . . . . 23
2.4.2 Superreplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Quadratic Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Einführung in die Portfoliooptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Direkte Lösung mittels Bedingungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Der Martingalansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29