Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell 39
3.4.4 Optionen im CRR-Modell
Satz 3.4.1. Im CRR-Modell mit d < 1 + r < u ist der Preis eines europäischen Calls zur Zeit
t = 0, 1, . . . , N mit Ausübungswert K und Restlaufzeit τ gegeben durch
C t =
1
τ∑
( (
τ +
(1 + r) τ j)q j (1 − q) τ−j S t (ω)u j d τ−j − K)
. (3.18)
j=0
Bemerkung. Möchte man explizit auf die Maturität T = N verweisen, so wendet man obigen
Satz auf τ = N − t an.
Beweis: Nach der risikoneutralen Bewertungsregel müssen wir nur den folgenden Erwartungswert
(mit N = t + τ)
C t = E Q( 1
(1 + r) τ (S N − K) + ∣ ∣∣ Ft
)
berechnen. Dabei ist S N = S t
∏ τ
i=1 ξ i, wobei die ξ i jeweils den Wert u (mit Wahrscheinlichkeit q)
oder d (mit Wahrscheinlichkeit 1 − q) annehmen. Allerdings kommt es nicht auf die Reihenfolge
an. Die Wahrscheinlichkeit für j ups ist q j (1 − q) τ−j . Insgesamt haben wir τ Stellen zu besetzen,
die Kombination mit j ups taucht also ( τ
j)
-mal auf. Wir erhalten also
C t =
1 ∑
N ( τ
(1 + r) j)
τ q j (1 − q) τ−j (S t u j d τ−j − K) + .
j=0
Es gibt natürlich noch eine Menge komplizierterer Optionen als einfache Calls. Ein Beispiel
dafür sind sogenannte Barrier-Optionen. Sie dienen typischerweise dazu, einen billigeren“ Call
”
bzw. Put anzubieten. Man unterscheidet hier zwischen zwei Mechanismen beim Treffen einer
Barriere: knock-in und knock-out. Beim knock-in wird der Kontrakt erst dann aktiviert, wenn
die Barriere innerhalb der Laufzeit erreicht wurde. Wird die Barriere nicht erreicht, ist der Kontrakt
wertlos. Beim knock-out ist es gerade umgekehrt; beim ersten Erreichen der Barriere wird
der Kontrakt wertlos. Desweiteren unterscheidet man, ob die Barriere von oben ( up“) oder von
”
unten ( down“) durchbrochen wird. Es gibt demnach vier Typen von Barrier-Optionen: downand-out,
down-and-in, up-and-out und up-and-in. Eine Beziehung ist sofort klar: Hält man eine
”
knock-out und eine knock-in Option vom gleichen Typ, so ist der Wert des Portfolios gleich dem
Wert einer Standard-Option.
Es gibt auch Optionen mit einer zeitabhängigen Barriere, z.B. Asian barrier options, wo das
geometrische Mittel des Aktienkurses die Rolle des Indikators spielt, oder Forward start, Early
ending, Window barrier options, bei denen nur ein Teilbereich der Barriere eine Rolle spielt.
Ein Lookback Call hat den Payoff (S T − min n∈[¯t,T ] S n ) + für ein festes t < ¯t < T . Die risikoneutrale
Bewertungsformel liefert hier
(
)
1
LC =
(1 + r) T E Q (S T ) − E Q ( min S n) .
n∈[¯t,T ]
Ein nützliches Hilfsmittel für die Bewertung einer Barrier-Option ist das Spiegelungsprinzip.
Das Spiegelungsprinzip. Im CRR-Modell müssen wir zwei grundsätzliche Fälle unterscheiden,
p = 1 − p = P ( up“) = P ( down“) = 1
” ” 2 und p ≠ 1 2
. Der erstere Fall ist natürlich der
einfachere.