Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 49
Bemerkung.
• Es gilt 0 ≤ ∆ C ≤ 1. Liegt ein Call weit im Geld (S > K), so steigt die Wahrscheinlichkeit
in-the-money“ zu enden, deshalb geht sein Delta gegen 1. Umgekehrt profitieren Calls,
”
die weit aus dem Geld liegen, wenig von einem Aktienwachstum, deshalb geht ihr Delta
gegen 0.
• Es gilt immer Γ C > 0. Mit wachsendem Aktienpreis steigt die Wahrscheinlichkeit ”
in-themoney“
zu enden, d. h. wir benötigen einen größeren Anteil der Aktie im replizierenden
Portfolio, also muss Delta wachsen.
Die folgenden Bilder verdeutlichen den Verlauf von Delta und Gamma für eine Call-Option.
Delta einer Call−Option im Black−Scholes Modell (K=100, r=0.03, sigma=0.2)
Gamma einer Call−Option im Black−Scholes Modell (K=100, r=0.03, sigma=0.2)
0.9
0.8
0.7
0.008
0.007
0.006
T=0.25
T=0.5
T=0.75
T=1
0.6
0.5
0.005
0.4
0.004
0.3
0.003
T=0.25
0.2
T=0.5
T=0.75
0.1
T=1
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S
0.002
0.001
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S
Weitere Greeks. Zur Bewertung einer Europäischen Option mit festem Ausübungspreis K
und festem Ausübungzeitpunkt im Black-Scholes Modell benötigen wir neben dem Aktienpreis
noch weitere Parameter, die Restlaufzeit T , die Volatilität σ und den Zinssatz r. Man betrachtet
auch bezüglich dieser Parameter die partiellen Ableitungen des Optionspreises und erhält die
folgenden Sensitivitäten.
Bemerkung.
Vega C = ∂C
∂σ = S √
0 T ϕ(d1 )
Vega P = ∂P
∂σ = Vega C
Theta C = ∂C
∂t = −S 0σϕ(d 1 )
2 √ − rKe −rT Φ(d 2 )
T
Theta P = ∂P
∂t = −S 0σϕ(d 1 )
2 √ + rKe −rT Φ(−d 2 )
T
Rho C = ∂C
∂r = KT e−rT Φ(d 2 )
Rho P = ∂P
∂r = −KT e−rT Φ(−d 2 )
• Vega ist kein griechischer Buchstabe. Vega ist immer positiv. Eine wachsende Volatilität
führt zu einer breiteren Verteilung des Aktienkursendwertes und damit zu einer höheren
Wahrscheinlichkeit, dass ein Call im Geld ist.