Vorlesungsskript Finanzmathematik I

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3.1 Modell und grundlegende Begriffe 32 Die Selbstfinanzierungsbedingung. Eine Handelsstrategie θ heißt selbstfinanzierend, falls sie zulässig ist und für t = 1, . . . , N − 1 gilt, dass V θ t = d∑ i=0 θ t,i S t,i ! = d∑ θ t+1,i S t,i . (3.2) Intuitiv bedeutet (3.2), dass dem Portfolio zu keinem der Zeitpunkte t = 1, . . . , N −1 Geldmittel zugeführt oder entnommen werden. Wir haben die folgende Charakterisierung von selbstfinanzierenden Handelsstrategien. Lemma 3.1.1. Eine zulässige Handelsstrategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn für alle t = 1, . . . , N gilt, dass V θ t = V θ 0 + (θ, S) t := V θ 0 + t∑ i=0 d∑ s=1 i=0 ) θ s,i (S i (s) − S i (s − 1) . (3.3) Der Ausdruck G θ t := (θ, S) t = ∑ t s=1 θ′ s∆S s wird oft als Handelsgewinn der selbstfinanzierenden Strategie θ bezeichnet; der Wert einer selbstfinanzierenden Strategie im Zeitpunkt t ist also die Summe aus Anfangsinvestition und Handelsgewinn. Wir verwenden die Notation (θ, S) für das stochastische Integral von θ bzgl. S, was im zeitlich diskreten Modell schlicht eine Riemannsumme ist, vergleiche auch die Definition im Anhang. Beweis: Nach der Definition von V θ ist V θ t+1 − V θ t = θ ′ t+1S t+1 − θ ′ tS t . (3.4) Die Strategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn θ ′ tS t = θ ′ t+1S t . Zunächst folgt daraus, dass V θ t+1 − V θ t = θ ′ t+1∆S t+1 (3.5) gilt, also (3.2). Umgekehrt folgt aus (3.2) die Darstellung (3.5) und mit Gleichung (3.4), dass θ selbstfinanzierend ist. Diskontierte Größen. Der Übergang zu diskontierten Größen vereinfacht die Handhabung des Modells wesentlich. Definiere den diskontierten Preisprozess durch ˜S ( ) t := 1, S t,1 S t,0 , . . . , S t,d ′,den S t,0 diskontierten Wertprozess einer Strategie θ durch Ṽ θ t := V θ t S t,0 = θ ′ ˜S t t und schließlich ˜G θ t := (θ, ˜S). Analog zu Lemma 3.1.1 zeigt man Lemma 3.1.2. Eine Strategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn Ṽ θ t = Ṽ θ 0 + ˜G θ t . Bemerkung. Da ˜S t,0 ≡ 1, ist ˜G θ unabhängig von (θ t,0 ) t=1,...,N . Daher liegt die Wahl von V 0 und (θ t,1 , . . . , θ t,d ) ′ t=1,...N eindeutig die Position in Wertpapier 0 fest, falls θ selbstfinanzierend ist. Umgekehrt kann bei gegebenem V 0 jede Strategie (θ t,1 , . . . , θ t,d ) in den Wertpapieren 1, . . . , d durch Wahl von θ 0 auf eindeutige Weise zu einer selbstfinanzierenden Strategie ergänzt werden. Für das so bestimmte θ 0 gilt θ t,0 = Ṽ0 + ˜G θ d∑ t − θ t,i ˜St,i ; man sieht leicht, dass θ t,0 tatsächlich previsibel ist. i=1
3.2 Arbitragefreiheit und Martingalmaße 33 3.2 Arbitragefreiheit und Martingalmaße Definition 3.2.1. Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie θ ist eine Arbitragemöglichkeit, falls V θ 0 ≤ 0, V θ N ≥ 0 und mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i.) V θ 0 < 0 oder (ii.) P ( V θ N > 0) > 0. Ein Marktmodell M heißt arbitragefrei bzw. erfüllt die No-Arbitrage-Bedingung (NA), falls keine Arbitragemöglichkeiten existieren. Es gibt zwei Gründe, warum ein gutes Finanzmarktmodell arbitragefrei sein sollte: • In der Realität existieren Arbitragemöglichkeiten meist nur für kurze Zeit. • Wird ein nicht-arbitragefreies Modell zur Bewertung von Derivaten verwendet, so besteht die Gefahr, dass der Nutzer des Modells inkonsistente Preise stellt und dadurch selber ausarbitriert“ wird. ” Definition 3.2.2. Gegeben sei ein Finanzmarktmodell M. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω, F) heißt äquivalentes Martingalmaß, falls (i.) Q ist äquivalent zu P , d.h. für alle A ∈ F gilt Q(A) = 0 ⇔ P (A) = 0. (ii.) Der diskontierte Preisprozess aller gehandelten Wertpapiere ist ein Martingal bzgl. Q, d.h. es gilt für alle t = 0, 1, . . . N − 1 und i = 0, 1, . . . d : E Q( ˜St+1,i ∣ ∣ Ft ) = ˜St,i . (3.6) Ein äquivalentes Martingalmaß nennt man oft auch risikoneutrales Maß. Für Q ist äquivalent zu P schreiben wir kurz: Q ∼ P . Lemma 3.2.3. Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß für das Marktmodell M. Dann ist der diskontierte Wertprozess Ṽ θ einer zulässigen, selbstfinanzierenden Strategie θ ein Martingal. Beweis: Da θ selbstfinanzierend ist, folgt aus Lemma 3.1.2 Ṽ θ t+1 = Ṽ θ t + θ ′ t+1∆˜S t+1 . Da θ previsibel ist, ist θ t+1 F t -messbar. Damit folgt E Q( Ṽ θ ) ∣ t+1 Ft = Ṽ θ t + = Ṽ θ t + d∑ E Q( θ t+1,i ( ˜S t+1,i − ˜S ) t,i ) ∣ F t i=1 d∑ θ t+1,i E Q( ˜St+1,i − ˜S ∣ ) t,i Ft . i=1 Da Q ein Martingalmaß ist, folgt E Q( ˜St+1,i − ˜S ∣ ) t,i F t = 0 und somit E Q ( Ṽ θ ) ∣ t+1 F t = Ṽ θ t . Proposition 3.2.4. Existiert für ein Finanzmarktmodell M ein äquivalentes Martingalmaß Q, so ist M arbitragefrei.
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Seite 35 und 36: 3.2 Arbitragefreiheit und Martingal
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Seite 51 und 52: 3.6 Optimales Stoppen und Amerikani
Seite 57 und 58: 57 Kapitel 4 Der Zinsmarkt 4.1 Einf
Seite 59 und 60: 4.1 Einführung 59 • Die (stetige
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Seite 63 und 64: 63 Anhang A Martingale in diskreter
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Seite 67 und 68: A.2 Stoppzeiten und Optionales Stop
Seite 69 und 70: A.3 Doob-Zerlegung und Supermarting

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