Vorlesungsskript Finanzmathematik I

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Kapitel 4
Der Zinsmarkt
4.1 Einführung
Zum Abschluss der Vorlesung diskutieren wir kurz die wichtigsten Produkte auf Zinsmärkten.
Zu Beginn werden wir uns mit den primären Produkten am Markt vertraut machen. Im Prinzip
entsteht ein Zinsgeschäft bereits, wenn man sein Geld bei einer Bank deponiert, oder sich einen
Kredit leiht. Wieso muss man eigentlich einen Zinssatz zahlen, wenn man sich Geld leiht Die
Idee die dahintersteht, ist, dass 1000 EUR heute mehr wert sind als 1000 EUR in einem
Jahr. Den entstehenden Wertverlust gleicht man mit einem Zins aus.
Möchte man bei seiner Bank Geld festlegen, so ist die Laufzeit wesentlich. Für jede Laufzeit gibt
es einen anderen Zins. Man spricht von einer Zinskurve:
Als Teilnehmer im Zinsmarkt legt man das Geld nicht bei einer Bank fest, sondern man kauft
sich einen Bond. In unserem Fall wäre ein Bond mit Nennwert 1000 EUR das richtige. Die
Zinszahlungen treten bei einem Bond als Kupons auf, so dass eine Verzinsung von (jährlich) 4 %
durch Kupons in der Höhe 40 EUR jeweils nach Ablauf eines Jahres diese Funktion übernehmen
könnten. Im Verlaufe der Zeit wird dieser Bond natürlich seinen Wert ändern, je nachdem ob die
Zinsen steigen oder fallen. Er könnte zu einem zukünftigen Zeitpunkt t mehr oder auch weniger
als 1000 EUR kosten. Typischerweise wird sein Wert auch an den Zeitpunkten, an welchen ein
Kupon ausgezahlt wird, springen.
Ein einfacheres Finanzprodukt wird die Systematik wesentlich erleichtern. Betrachten wir einen
Bond, welcher keine Kuponzahlungen verspricht. Weiterhin normieren wir den Nennwert des
Bonds auf 1. Dies führt zur folgenden
Definition 4.1.1. Ein zero-coupon Bond ist ein Finanzgut, welches zu einem fest vereinbarten
Zeitpunkt (Maturity), sagen wir T , den Nennwert N = 1 zahlt. Den Preis eines solchen Bonds
zum Zeitpunkt t < T bezeichnen wir mit B(t, T ).
Eine Besonderheit von Bonds tritt hier gleich zu Tage, und zwar ist B(T, T ) = 1 und (meistens)
B(t, T ) < 1. Solche Bonds eignen sich bereits hervorragend zur Beschreibung anderer Produkte,
nämlich der Bonds mit Kupons. Angenommen, ein solcher Bond B C zahlt die Kupons K i zu
den Zeitpunkten T i , i = 1, . . . , n und das Nominal an T n , so ist sein Wert zu einem Zeitpunkt
t < T 1 gerade
B C (t, T ) = B(t, T n ) +
n∑
K i B(t, T i ). (4.1)
i=1