Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 54
• Kostenminimalität: In N sollte das Kapital gleich C N sein; für jeden Zeitpunkt t < N soll
die Absicherung kostenminimal sein.
Als nächstes soll ein möglicher Wertprozess bestimmt werden. Die Vorgehensweise ist durch die
Resultate aus dem vorigen Kapitel inspiriert. Wesentlich wird allerdings ein Absicherungsargument
eingehen, wozu natürlich die Vollständigkeit des Marktes maßgeblich genutzt wird.
• An N muss gelten, dass V N = C N .
• An N−1 muss zum einen V n−1 ≥ C N−1 gelten, da der Käufer natürlich zu diesem Zeitpunkt
ausüben kann. Übt er allerdings nicht aus, so hat er an N einen Anspruch auf den Betrag
C N . Da der Markt vollständig ist, kann man diesen Betrag risikolos absichern und zwar
zu dem Preis
E Q( S N−1,0
C N
S N,0
|F N−1
)
.
• Zusammenfassend ergibt sich, dass
V N−1 = max { C N−1 ; S N−1,0 E Q ( ˜C N |F N−1 ) } .
Da V N = C N ist, folgt
Ṽ N−1 = max { ˜CN1 ; E Q (ṼN|F N−1
)
}.
• Eine Iteration obiger Argumente liefert
Ṽ t = max { ˜Ct ; E Q (Ṽt+1|F t ) } .
Etwas überraschend liefert also das Absicherungsargument also für den diskontierten Absicherungsprozess
gerade den Snell envelope U ˜C (bzgl. des Martingalmaßes Q) von ˜C. Die Frage ist
noch, mit welcher Handelsstrategie V (Super-)repliziert werden kann.
Konstruktion einer Absicherungsstrategie. Da U ˜C ein Supermartingal ist, liefert die
Doob-Meyer Zerlegung U ˜C = M + A, wobei M ein Martingal und A ein fallender, previsibler
Prozess mit A 0 = 0 ist. Da M vollständig ist, gibt es eine selbstfinanzierende Handelsstrategie
θ, für deren diskontierten Endwert gilt Ṽ θ N = M N. Da Ṽ θ nach Lemma 3.2.3 ein Martingal ist,
gilt für alle t = 0, 1, . . . , N
Ṽ θ
t = E Q (Ṽ θ N | F t ) = E Q ( ˜M N | F t ) = M t .
Außerdem gilt ˜C t ≤ U ˜C
t = M t + A t ≤ M t = Ṽ θ
t
Absicherungsstrategie für den Verkäufer.
und somit V θ
t
≥ C t ; die Strategie θ ist also eine
Bemerkung. Wir betrachten die optimale Stoppzeit τ max definiert in (3.36). Wir wissen, dass
nach Proposition 3.6.3 Ṽ τmax ein Q-Martingal ist und dass Ṽτ max
= ˜C τmax gilt. Es folgt für den
Wertprozess unserer Strategie
• Ṽ θ
t = U ˜C
t für t ≤ τ max ,
• Ṽ θ
t > U ˜C
t für t > τ max (weil A τmax +1 < 0),