Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 53
Die Snell envelope wurde dabei rekursiv definiert.
{ 20, falls X2 = 140
U 2 = H 2 =
0, sonst
{ 1
E(U 2 |F 1 ) = 2 · 20 + 1 2 · 0 = 10, falls X 1 = 120
1
2 · 0 + 1 2 · 0 = 0, sonst
{ max{20, 10} = 20, falls X1 = 120
U 1 = max{H 1 , E(U 2 |F 1 )} =
0, sonst
E(U 1 |F 0 ) = 1 2 · 20 + 1 2 · 0 = 10
U 0 = max{H 0 , E(U 1 |F 0 )} = max{0, 10} = 10.
Damit erhält man als eine Lösung des Stoppproblems
{
}
τ min (ω) = inf n ∈ {0, 1, 2} : U n (ω) = H n (ω) = inf{1, 2} = 1 ∀ω ∈ {ω 1 , . . . , ω 4 }.
3.6.2 Amerikanische Optionen
Wir arbeiten nun wieder unser Mehrperiodenmodell M, welches wir in (3.1) definiert haben,
d.h. wir betrachten die d + 1 Wertpapierpreise (S t,i ) t=0,1,...,N , i = 0, 1, . . . , d, wobei S 0 > 0 das
Numéraire ist.
Definition 3.6.6. Eine amerikanische Option ist gegebn durch einen nicht-negativen, adaptierten
Prozess C.
Eine amerikanische Option ist dadurch charakterisiert, dass der Inhaber zu jeder Zeit t ∈
{0, . . . , N} die Option ausüben kann. In diesem Fall erhält er den Betrag C t .
Beispiel 3.6.7. Wir stellen drei Optionstypen vor.
(i) Für einen Amerikanischen Put/Call auf das Wertpapier (S t,i ) t=0,1,...,N , i ∈ {1, . . . , d} ist
die Auszahlung bei Ausüben an t C t = (K − S t,i ) + , bzw. C t = (S t,i − K) + im Falle eines
Calls.
(ii) Auch eine europäische Option mit Auszahlen H N lässt sich als amerikanische Option darstellen.
Dafür setzt man C t = 0 für 0 ≤ t < N und C N = H N .
(iii) Eine Bermuda-Option ist ein Mittelding zwischen amerikanischer und europäischer Option.
Bei ihr darf nur an Zeitpunkten in einer echten Teilmenge T ⊂ {0, . . . , N} ausgeübt werden.
Für alle anderen Zeitpunkte setzt man natürlich C gleich Null.
Absicherungsstrategien aus Sicht des Verkäufers. Zunächst betrachten wir Absicherungsstrategien
für C aus Sicht des Verkäufers in vollständigen Märkten betrachten.
Annahme: Der Markt M ist arbitragefrei und vollständig.
Das eindeutige Martingalmaß bezeichnen wir mit Q. Die Absicherung des Amerikanischen claims
muss unabhängig von der Ausübungsstrategie des Käufers erfolgreich sein. Eine Absicherungsstrategie
V muss daher folgende Bedingungen erfüllen:
• In jedem Zeitpunkt t = 0, 1, . . . , N muss dem Verkäufer ausreichend Kapital zur Deckung
zur Verfügung stehen, d.h.
V t ≥ C t ,
∀t ∈ {0, . . . , N}.