Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 56
Vergleich amerikanische / europäische Optionen. Im typischen Fall ist der Payoff der
amerikanischen Option eine Funktion des Aktienkurses, etwa C t = f(S t ). Der Payoff der zugehörigen
europäischen Option ist C N an N.
Wir setzen E t = S t,0 E Q ( ˜C N |F t ) für den Wert der europäischen Option. Dann gilt
Lemma 3.6.10. Der Wert der europäischen Option ist nicht größer als der Wert der amerikanischen
Option, E t ≤ V θ
t .
Beweis. Für t = 0 erhalten wir direkt
Hingegen ist für beliebiges t
V θ
0 = U ˜C
0 ≥ E Q (U ˜C
N ) = E Q ( ˜C N ) = E 0 .
Ṽ θ
t = M t ≥ M t − A t = U ˜C
t ≥ E Q (U ˜C
N |F t ) = E Q ( ˜C N |F t ) = Ẽt.
Daraus folgt, dass V θ
t ≥ E t .
Beispiel 3.6.11. (Amerikanischer Call). Für einen amerikanischen Call ist C t = (S t − K) + . Wir
nehmen an, dass S t,0 monoton wachsend ist. Dann gilt für den Wert des europäischen Calls, dass
er wachsend in N ist, denn
E Q ( ˜C t+1 |F t ) = E Q(( S t
S t,0
− K
S t,0
) +|Ft )
≥ ˜C t
unter Verwendung der Jensenschen Ungleichung und der Tatsache, dass ˜S ein Martingal unter
Q ist. Somit ist H = ˜C ein Submartingal, was bedeutet, dass eine optimale Strategie ist, bis N
zu warten bevor man ausübt, denn U H t = E Q (H T |F t ). Schließlich ist U H 0 = E 0 , der Wert des
europäischen Calls ist gleich dem Wert des amerikanischen Calls.
Beispiel 3.6.12. Im Falle eines amerikanischen Puts ist es im Gegenzug dazu möglich, dass der
Zeitwert
W t = S t,0 E Q( (K − S T ) + )
|F t − (K − S t ) +
S T,0
negativ wird, so dass vorzeitiges Ausüben den (positiven) Wert −W t liefert.
Ausblick
Die hier abgehandelten Themen bieten nur einen ersten Einblick in die Finanzmathematik in
diskreter Zeit. Für eine Analyse von Portfoliooptimierungsproblemen sei etwa auf Pliska (1997)
verwiesen; unvollständige Märkte in diskreter Zeit werden etwa in Föllmer & Schied (2004)
behandelt.