Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 43
3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-
Scholes-Formel
In diesem Kapitel werden wir das CRR-Modell für immer feinere Abstände betrachten und
die Konvergenz von Optionspreisen analysieren. Für eine bestimmte Wahl der Konvergenz der
Schritthöhen im CRR-Modell erhält man als Grenzwert das berühmte Black-Scholes-Modell.
Dabei wird aus der im vorigen Kapitel abgeleiteten Call-Bewertungsformel (Satz 3.4.1) die
berühmte Black-Scholes-Formel.
Wir betrachten den festen Zeitraum [0, T ] und unterteilen ihn in n äquidistante Intervalle der
Länge ∆ n = T n . Der risikolose Return im sogenannten continuous compounding“ für ein Intervall
ist gerade e ∆nr . Die Wahl der Wertänderung pro Schritt ist das eigentlich Wichtige. Wir
”
bezeichnen mit σ > 0 die Volatilität und definieren die Zufallsgröße
{ (
ξi n exp r∆n + σ √ )
∆
:=
n mit Wahrscheinlichkeit p
exp ( r∆ n − σ √ )
∆ n mit Wahrscheinlichkeit 1 − p .
Der
∏
Aktienkurs im Zeitpunkt T im Modell mit n Intervallen ist dann gegeben durch ST n =
S n
0 i=1 ξn i ; die sogenannten log-returns, also die logarithmische Rendite ist
ln Sn i
S n i−1
= ln ξ n i = r∆ n ± σ √ ∆ n , 1 ≤ i ≤ n.
Wir werden sehen, dass für p = 1 2
die Standardabweichung der returns über einer Periode gerade
σ √ ∆ n ist, weshalb die Bezeichnung Volatilität für σ gerechtfertigt ist.
3.5.1 Konvergenz unter dem historischen Maß
Wir nehmen an, dass unter dem historischen Maß P gilt p = 1 − p = 1 2
. Dann haben wir für den
Erwartungswert und die Varianz der log-returns
E(ln ξ n i ) = 1 2 (r∆ n + σ √ ∆ n ) + 1 2 (r∆ n − σ √ ∆ n ) = r∆ n
var(ln ξ n i ) = E ( (ln ξ i − r∆ n ) 2) = 1 2 (σ√ ∆ n ) 2 + 1 2 (−σ√ ∆ n ) 2 = σ 2 ∆ n .
Da ln S n (T ) = ln S 0 + ∑ n
i=1 ln ξn i gilt, haben wir
E ( ln S n (T ) ) = ln S 0 +
n∑
E(ln ξ i ) = ln S 0 + nr∆ n
i=1
var ( ln S n (T ) ) = var ( ∑
n )
ln ξ i =
i=1
= ln S 0 + rT
n∑
V ar ( )
ln ξ i = nσ 2 ∆ n = σ 2 T,
i=1
wobei die Unabhängigkeit der ξ n i
ausgenutzt wurde.
Die Summe besteht aus unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ln ξi n , welche nach
dem zentralen Grenzwertsatz (für Dreieckssummen) gegen eine normalverteilte Zufallsvariable
konvergiert.
Theorem 3.5.1 (erweiterte Version des zentralen Grenzwertsatzes). Sei für jedes n ∈ N eine
Folge Y n = (Y n
1 , . . . , Y n n ) von Zufallsvariablen gegeben mit folgenden Eigenschaften.