Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.4 Unvollständige Märkte 25
Satz 2.4.7. Sei (D, S) ein arbitragefreier Markt. Dann gibt es zu jeder Auszahlung W eine
kostenminimierende Superreplikationsstrategie θ ∗ . Die Superreplikationskosten sind gegeben
durch
{
sup ψ ′ W , ψ ∈ ˜Ψ
} { }
1
= sup
1 + r EQ (W ), Q risikoneutrales Maß .
Bemerkung. Die minimalen Superreplikationskosten entsprechen also gerade der oberen Preisschranke
aus Proposition 2.4.1. Man kann analog zeigen, dass die untere Preisschranke aus
Proposition 2.4.1 gerade dem Negativen der Superreplikationskosten für die Auszahlung −W
entspricht.
In Anwendungen ist das Optimierungsproblem (DP) oft leichter lösbar. Mit Hilfe des folgenden
Resultats kann bei bekannter Lösung ψ des (DP) ein kostenminimierendes Superreplikationsportfolio
berechnet werden.
Proposition 2.4.8 (Komplementärer Schlupf). Sei θ zulässig in (PP) und ψ zulässig in (DP).
Dann sind äquivalent
1. Es gilt ψ ′ (W − Dθ) = 0.
2. ψ ist eine Lösung von (DP) und θ eine Lösung von (PP).
Beweis: (i)⇒(ii). Gilt (i) so sieht man unmittelbar, dass in der schwachen Dualität (Lemma
2.4.3) Gleichheit gelten muss, woraus (ii) unmittelbar folgt.
(ii) ⇒i). Ist ψ eine Lösung von DP und θ eine Lösung von (PP), so stimmen nach dem Dualitätssatz
die Werte der Zielfunktion beider Optimierungsprobleme überein; Inspektion des Beweises
von Lemma 2.4.3 zeigt unmittelbar, dass (i) gelten muss.
Sei nun ψ eine nicht-degenerierte Lösung des (DP), d.h. N Komponenten 1 ≤ k 1 < · · · < k N ≤ K
von ψ seien echt positiv (dies ist der typische Fall). Nach der Proposition vom komplementären
Schlupf müssen also für ein kostenminimales Portfolio θ die N Gleichungen
(Dθ) kn = W kn 1 ≤ n ≤ N, (2.12)
erfüllt sein. Das lineare Gleichungssystem (2.12) besteht aus N Gleichungen und N Unbekannten;
es kann zur Berechnung eines optimalen Portfolios verwendet werden.
Beispiel:
⎛
1
⎞
180
D = ⎝1 150⎠ , W = (30, 0, 0) ′ , S = (1, 150) ′ .
1 120
Die Menge der Zustandspreise wurden bereits in Beispiel 2.3.2 bestimmt. Wir bestimmen deshalb
unmittelbar eine Lösung des (DP) und erhalten
{
(
sup{ψ ′ W , ψ > 0, S = D ′ ψ} = sup α30 + (1 − 2α)0 + 0, α ∈ 0, 1 )}
= 1 30 = 15.
2 2
Der zugehörige degenerierte Vektor von Zustandspreisen ist ψ ∗ = ( 1 2 , 0, 1 2 )′ . Zur Bestimmung des
kostenminimalen Superreplikationsportfolios θ ∗ verwenden wir das Gleichungssystem (2.12); da
ψ2 ∗ = 0, besteht dieses System aus den 2 Gleichungen
θ ∗ 1 + 180θ ∗ 2 = 30, und θ ∗ 1 + 120θ ∗ 2 = 0;
die Lösung ist durch θ 1 = −60, θ 2 = 1 2
gegeben. Die zugehörigen kostenminimalen Superreplikationskosten
sind −60 + 1 2150 = 15 und stimmen - wie in Satz 2.4.7 gezeigt - mit der oberen
Preisschranke für W aus Proposition 2.4.1 überein.