Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.3 Optionen 14
Für den Wert von Portfolio 1 gilt im Zeitpunkt τ ∈ (t, T ]
C τ + Kβ(τ − t) ≥ C τ + K ≥ (S τ − KB(τ, T )) + + K ≥ (S τ − K) + + K = max(S τ , K).
Somit ist der Wert von Portfolio 1 an jedem Ausübungszeitpunkt (inklusive Maturität T ) größer
oder gleich dem Wert von Portfolio 2 und somit aus Arbitragegründen auch an t.
1.3.3 Wertgrenzen für Optionen: Der Fall mit Dividenden
Für eine kurze Laufzeit kann man die Dividenden recht präzise vorhersagen. Nehmen wir also
an, der Wert der zukünftig auszuzahlenden Dividenden (bis Maturität) sei bekannt.
Mit D bezeichnen wir die Summe der auf t abdiskontierten Dividendenauszahlungen. Man erhält
unmittelbar
C t ≥ S t − D − KB(t, T ), (1.11)
indem man die vorigen Ergebnisse auf S t − D anwendet, genauer auf ein Portfolio
S t −
n∑
D i B(t, T i ),
wobei n Dividenden der Höhe D i an T i bis zur Maturität T ausgezahlt werden.
i=1
Für den amerikanischen Call wird es mitunter optimal sein, an Dividendenzeitpunkten auszuüben,
vgl. Hull, Kapitel 10. Betrachten wir eine mögliche Ausübung an einem Dividendenzeitpunkt
T i . Ausüben wird man nur, falls S Ti > K. Genau genommen, wird man direkt vor
der Dividendenzahlung ausüben. Den Wert der Aktie bezeichnet man dann mit S Ti −, wobei
diese Notation noch einmal explizit auf den linken Grenzwert hinweist, S Ti − := lim t↑Ti S t . Die
Auszahlung durch Ausüben ist dann gerade
S(T i− ) − K.
Allerdings gilt ebenso für den Preis des Calls an T i , also nach Auszahlung der Dividende:
C A T i
≥ C Ti ≥ S Ti − − D i − KB(T i , T ).
Ist der Preis höher als die Auszahlung durch Ausüben, so ist es natürlich nicht optimal auszuüben.
D.h. es ist nicht optimal auszuüben, falls
D i ≤ K
(
1 − B(T i , T )
)
.
Es lässt sich zeigen, dass im Fall D i > K ( 1 − B(T i , T ) ) Ausüben immer optimal ist.
1.3.4 Optionsstrategien
Die Gewinnprofile (Payoff − Prämie) einfacher europäischer Calls sehen wie folgt aus: