Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell 38
CRR-Modell ist also vollständig und arbitragefrei. Es ist noch zu erwähnen, dass die Produktstruktur
von Q in (3.15) bedeutet, dass aufeinanderfolgende Bewegungen (ups and downs)
∏
unter
Q unabhängig sind. Wir erhalten also folgende Darstellung S t = S 0 · ξ 1 · · · ξ t = S t
0 s=1 ξ s, wobei
die ξ s unter Q unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind mit Q(ξ s = u) = q.
Natürlich ist E Q (
ξs
1+r
)
= 1.
3.4.3 Vollständigkeit und Hedging-Strategien
Da das Martingalmaß Q eindeutig ist, muss nach dem 2. Hauptsatz der Wertpapierbewertung
der betrachtete Markt vollständig sein. Für jeden contingent claim gibt es also eine replizierende
Handelsstrategie, die wir im folgenden bestimmen wollen. Wir betrachten ein 2-Perioden-
Modell und einen claim H(ω) mit Fälligkeit in T = 2. Nehmen wir nun an, dass wir uns im
Zeitpunkt t = 1 im up-Zustand befinden, dann muss für die replizierende Handelsstrategie
θ 2 (u) = (θ 2,0 (u), θ 2,1 (u)) ′ gelten, dass
θ 2,0 (u) · (1 + r) 2 + θ 2,1 (u) · u S 1 (u) = H(u, u)
θ 2,0 (u) · (1 + r) 2 + θ 2,1 (u) · d S 1 (u) = H(u, d),
und erhalten sofort
θ 2,1 (u) =
θ 2,0 (u) =
=
H(u, u) − H(u, d) H(u, u) − H(u, d)
= (3.16)
S 1 (u) (u − d) S 0 u(u − d)
[
]
1
H(u, d) − H(u, u)
(1 + r) 2 H(u, u) + u
u − d
u H(u, d) − d H(u, u)
(u − d)(1 + r) 2 . (3.17)
Den Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t = 1 liefert uns das risikoneutrale Bewertungsprinzip
E Q( 1
1+r H(ω) ∣ ∣ F1
)
, also im Fall ω1 = u
V 1 (u) = 1 (q H(u, u) + (1 − q) H(u, d)) .
1 + r
Die Berechnungen für den Fall, dass ω 1 = d ist, verlaufen analog. Für die Hedgingstrategie im
Zeitpunkt t = 0 nutzen wir rekursiv die oben erhaltenen Ergebnisse. Dabei hedged man nun den
claim V 1 (ω 1 ), also
und erhält
θ 1,1 = V 1(u) − V 1 (d)
S 0 (u − d)
θ 1,0 (1 + r) + θ 1,1 u S 0 = V 1 (u)
θ 1,0 (1 + r) + θ 1,1 d S 0 = V 1 (d),
und
θ 1,0 = u V 1(d) − d V 1 (u)
(1 + r)(u − d) .
Interessant ist die genauere Betrachtung von θ 1,1 = V 1(u)−V 1 (d)
S 1 (u)−S 1 (d) . Nehmen wir an, dass V 1(ω 1 ) =
f ( S 1 (ω 1 ) ) z.B. der payoff eines Calls mit Fälligkeit T = 1 wäre, so wäre θ 1,1 die (diskrete)
Ableitung von f nach S. Dies scheint vernünftig, da man gerade so viele Aktien kauft, dass sich
die Veränderung des Wertes des Portfolios genauso verhält, wie die Veränderung des Derivates,
also
V 1 (u) − V 1 (d)
S 1 (u) − S 1 (d) · (S 1(u) − S 1 (d)) ∼ V 1 (u) − V 1 (d).
Konkrete Aussagen zur Bewertung von Optionen im CRR-Modell im N-Periodenfall werden im
folgenden Abschnitt getroffen.