Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.4 Unvollständige Märkte 24
Im Kontext von Beispiel 2.3.2 ist eine mögliche Superreplikation für die Auszahlung W =
(30, 0, 0) ′ (Call-Option auf die Aktie mit K = 150) durch θ = (−120, 1) mit Preis −120+150 = 30
gegeben. Es gilt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
60 30
Dθ = ⎝30⎠ ≥ ⎝ 0 ⎠ .
0 0
Kostenminimale Superreplikationsportfolios. Die Bestimmung eines kostenminimierenden
Superreplikationsportfolios führt unmittelbar auf folgendes lineares Optimierungsproblem:
min
θ S′ θ bzgl. Dθ ≥ W (PP)
Wir werden im folgenden die Dualitätstheorie der linearen Optimierung auf dieses Problem
anwenden. Insbesondere wird sich zeigen, dass das duale Problem auf eine intuitive ökonomische
Charakterisierung der Superreplikationskosten führt. Das duale Problem zu (PP) hat die Form
max
ψ ψ′ W bezügl. D ′ ψ = S, ψ ≥ 0;
(DP)
siehe etwa Kapitel 4 von Bertsimas & Tsitsiklis (1997). Beachte dass jeder Vektor von Zustandspreisen
ein Element des zulässigen Bereichs von (DP) ist. Wir haben folgende Abschätzung für
Lösungen von (DP) und (PP).
Lemma 2.4.3 (schwache Dualität). Sei θ zulässig in (PP) und ψ zulässig in (DP). Dann gilt
ψ ′ W ≤ S ′ θ.
Beweis: Da ψ ≥ 0 und Dθ ≥ W folgt ψ ′ W ≤ ψ ′ Dθ = (D ′ ψ) ′ θ = S ′ θ .
Tatsächlich gilt aber viel mehr.
Satz 2.4.4 (Dualitätssatz). Falls für (PP) oder für (DP) eine Lösung existiert, so sind die
beiden linearen Programme lösbar, und die Optimalwerte der Zielfunktion stimmen überein. Dies
ist insbesondere der Fall, wenn die zulässigen Bereiche von (PP) und von (DP) beide nicht leer
sind.
Wenden wir den Dualitätsatz nun auf unser Problem an, so erhalten wir
Lemma 2.4.5. In einem arbitragefreien Markt haben (DP) und (PP) eine Lösung, und die
Werte der Zielfunktion stimmen überein.
Beweis: Der zulässige Bereich von (DP) ist nicht leer, da das Modell arbitragefrei ist und somit
Zustandspreise existieren. Der zulässige Bereich von (PP) ist nicht leer, da D 1 = (1, . . . , 1) ′
und somit λD 1 ≥ W für λ genügend groß. Also haben (PP) und (DP) eine Lösung, und die
Zielfunktionswerte stimmen nach dem Dualitätssatz überein.
Für die ökonomische Interpretation von Lemma 2.2.3 brauchen wir noch
Lemma 2.4.6. Sei (D, S) ein arbitragefreier Markt. Bezeichne mit ˜Ψ die Menge aller Zustandspreise.
Dann gilt max{ψ ′ W , ψ ≥ 0, S = D ′ ψ} = sup{ψ ′ W : ψ ∈ ˜Ψ}.
Beweis: Sei ψ ∗ eine Lösung des (DP), ˜ψ ein strikt positiver Vektor von Zustandspreisen. Definiere
˜ψ ε := (1 − ε)ψ ∗ + ε ˜ψ. Dann ist ˜ψ ε > 0, und es gilt D ′ ˜ψε = (1 − ε)D ′ ψ ∗ + εD ′ ˜ψ = S,
d.h. es gilt ˜ψ ε ∈ ˜Ψ . Die Behauptung folgt, da lim ε→0 ˜ψ′ εW = (ψ ∗ ) ′ W .
Zusammenfassend haben wir also