Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel 45
Beweis: Wir erhalten mit Hilfe von Lemma 3.5.2
E Q (ln ξ n i ) = q n (r∆ n + σ √ ∆ n ) + (1 − q n )(r∆ n − σ √ ∆ n )
= r∆ n + σ √ ∆ n (2q n − 1)
= r∆ n + σ √ ∆ n (1 − σ 2
√
∆n + O(∆ n ) − 1)
= r∆ n − σ2
2 ∆ n + O(∆ 3/2
n ),
(
var Q (ln ξi n ) = q n σ √ ∆ n + σ2
2 ∆ n + O(∆ 3/2
= q n
(
σ 2 ∆ n + O(∆ 3/2
n )
= σ 2 ∆ n + O(∆ 3/2
n ).
)
+ (1 − q n )
2
n ))
+ (1 − q n )
(−σ √ ∆ n + σ2
)
(
σ 2 ∆ n + O(∆ 3/2
n )
2 ∆ n + O(∆ 3/2
n )
Satz 3.5.4. Für n → ∞ konvergiert ( die Verteilung ) von Z n (T ) = ln S n (T ) unter Q gegen eine
Normalverteilung mit Mittelwert µ = r − σ2
2
T + ln S 0 und Varianz σ 2 T .
Beweis: Nach Lemma 3.5.3 ist
E Q( Z n (T ) ) = ln S 0 + n
) (r − σ2
∆ n + T O(∆ 3/2
n ) n→∞ −→ µ,
2 ∆ n
var Q ( Z n (T ) ) = nσ 2 ∆ n + T ∆ n
O(∆ 2 n) n→∞ −→ σ 2 T.
) 2
Lemma 3.5.1 liefert die Behauptung.
Die Lognormalverteilung Nach Satz 3.5.4 bzw. Gleichung (3.22) konvergiert die Verteilung
von ln S n (T ) für n → ∞ gegen eine Normalverteilung. Es folgt, dass ST n asymptotisch lognormal
verteilt ist. Dabei hat eine Zufallsvariable S auf (0, ∞) eine Lognormalverteilung mit Parametern
µ, σ 2 , S ∼ LN (µ, σ 2 ), falls Z := ln S gemäß N (µ, σ 2 ) verteilt ist. Die Verteilung hat folgende
Eigenschaften.
• Dichte. Da P (S ≤ x) = P (Z ≤ ln x), folgt für die Verteilungsfunktion F S (x) = F Z (ln x),
x > 0. Damit gilt für die Dichtefunktionen
F S (x) ′ = F Z(ln ′ x) 1 (
)
x = 1
√
2πσ 2 x exp (ln x − µ)2
− 2 2σ 2 . (3.24)
Die folgenden beiden Bilder zeigen die Dichtefunktion für verschiedene Parameter von µ
und σ 2 .
Dichte der Lognormal−Verteilung für sigma=1
Dichte der Lognormal−Verteilung für mu=0
0.9
1.6
mu=−1
mu=−0.5
0.8
sigma^2=0.25
sigma^2=0.5
1.4
mu=0
mu=0.5
0.7
sigma^2=1
sigma^2=1.5
1.2
mu=1
0.6
sigma^2=2
1.0
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0