Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 52
Folgerung 3.6.4. Es gilt
{
}
sup E(H τ ) : τ ∈ T = U 0 . (3.35)
Folgerung 3.6.5. Sei U n = M n + A n die Doob-Zerlegung von U, wobei (A n ) n=0,1,...,N ein
fallender, previsibler Prozess mit A 0 = 0 ist. Definiere
{
}
τ max := min n ∈ {0, 1, . . . , N − 1} : A n+1 ≠ 0 ∧ N, (3.36)
wobei min ∅ := ∞. Dann ist τ max eine Stoppzeit sowie Lösung des optimalen Stoppproblems
(3.31). Für jede weitere Lösung τ ∗ von (3.31) gilt τ ∗ ≤ τ max .
Beweis: Der Prozess A ist previsibel, deshalb gilt für n = 0, 1, . . . , N − 1 {τ max = n} = {A n =
0, A n+1 < 0} ∈ F n . In N gilt {τ max = N} = {A N = 0} ∈ F N ; τ max ist also eine Stoppzeit. Für
den gestoppten Prozess gilt aufgrund der Definition von τ max
U τ max
n
= M τ max
n
+ A τ max
n
= M τ max
n ,
d.h. U τmax ist ein Martingal und Bedingung (ii) von Proposition 3.6.3 ist erfüllt. Bleibt noch
Bedingung (i) (U τmax = H τmax ) zu zeigen. Auf {τ max = N} gilt dies per Definition von U.
Betrachten wir {τ max = n < N}, auf dieser Menge gilt
E(U n+1 − U n | F n ) = (A n+1 − A n ) = A n+1 < 0.
Es gilt also U n > E(U n+1 | F n ) und somit U n = H n . Nach Proposition 3.6.3 ist τ max somit
optimal. Die letzte Behauptung ist leicht zu sehen.
Beispiel: ( Call-Spread“.) Betrachte eine Zustandgröße X in einem 2-Periodenmodell, die
”
sich gemäß des folgenden Baumes verhält.
q = X 1 = 120
1
2
X 0 = 100 ✏ ✏✏✏✏✏
q = 1 2 X1 = 80
X 2 = 140
q = 1
✏ ✏✏✏✏✏ 2
q = 1 2
X2 = 100
q = 1 2
✏ ✏✏✏✏✏
X2 = 60
q = 1 2
Wir betrachten einen Call-Spread mit K 1 = 100 und K 2 = 120 und haben den Auszahlungsprozess
H n = (X n − 100) + − (X n − 120) + . Die folgende Tabelle gibt die Werte des Auszahlungsprozesses
und der Snell envelope für jeden Pfad an.
Pfad n = 0 n = 1 n = 2
ω 1 X 0 = 100 H 0 = 0 U 0 = 10 X 1 = 120 H 1 = 20 U 1 = 20 X 2 = 140 H 2 = 20 U 2 = 20
ω 2 X 0 = 100 H 0 = 0 U 0 = 10 X 1 = 120 H 1 = 20 U 1 = 20 X 2 = 100 H 2 = 0 U 2 = 0
ω 3 X 0 = 100 H 0 = 0 U 0 = 10 X 1 = 80 H 1 = 0 U 1 = 0 X 2 = 100 H 2 = 0 U 2 = 0
ω 4 X 0 = 100 H 0 = 0 U 0 = 10 X 1 = 80 H 1 = 0 U 1 = 0 X 2 = 60 H 2 = 0 U 2 = 0