Vorlesungsskript Finanzmathematik I

A.2 Stoppzeiten und Optionales Stoppen 67
Man zeigt leicht, dass τ genau dann eine Stoppzeit ist, wenn {τ = n} ∈ F n für alle n ≥ 1.
Beispiel A.2.2. .
1. τ = t mit einer Konstanten t. Jede deterministische Zeit ist also eine Stoppzeit.
2. Betrachte einen adaptierten Prozess (S n ) n∈N . Dann definiert man eine Ersteintrittszeit
durch
τ B = inf{n ≥ 0 : S n ∈ B}
für eine Borel-Menge B, beispielsweise B = [a, ∞).
Satz A.2.3. Für eine Stoppzeit τ mit P(τ ≤ K) = 1 und ein Martingal (S n ) n∈N gilt:
E(|S τ |) < ∞ und E(S τ ) = E(S 1 ).
Beweis. Wir betrachten die Zerlegung
K∑
K∑
S τ = 1 {τ=k} S τ = 1 {τ=k} S k .
k=1
k=1
Dann ist
E(S τ ) =
K∑
E(1 {τ=k} S k ) =
k=1
K∑
k=1
(
)
E 1 {τ=k} E(S K |F k )
( K∑ )
= E S K · 1 {τ=k} = E(S K ) = E(S 1 )
k=1
Aufgabe 3. Leiten Sie die entsprechenden Aussagen für Sub- bzw. Supermartingale her.
Wir benötigen auch ein Konzept für die Information an τ.
Definition A.2.4. Für eine Stoppzeit τ definieren wir
{
}
F τ := A ∈ F : A ∩ {τ ≤ n} ∈ F n für alle n
Satz A.2.5. Wir haben folgende Eigenschaften
1. F τ ist σ-Algebra
2. Für zwei Stoppzeiten τ, σ mit σ ≤ τ ist F σ ≤ F τ .
3. Ist (X n ) adaptiert, so ist X τ messbar bezüglich F τ .
Beweis. (1+2): siehe Bingham/Kiesel oder Übungsaufgabe.
Wir beweisen 3.) Dazu müssen wir für jedes Borelsche B zeigen, dass {X τ ∈ B} ∈ F τ . Also
n⋃
n⋃
{X τ ∈ B} ∩ {τ ≤ n} = {X τ ∈ B} ∩ {τ = k} = {X k ∈ B} ∩ {τ = k}
} {{ } } {{ }
k=1
k=1
∈F k
∈F k
Das folgende Theorem von Doob nennt man Theorem über Optionales Stoppen oder auch Optional
Sampling Theorem.