Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.1 Modell und grundlegende Begriffe 32
Die Selbstfinanzierungsbedingung. Eine Handelsstrategie θ heißt selbstfinanzierend, falls
sie zulässig ist und für t = 1, . . . , N − 1 gilt, dass
V θ
t =
d∑
i=0
θ t,i S t,i
!
=
d∑
θ t+1,i S t,i . (3.2)
Intuitiv bedeutet (3.2), dass dem Portfolio zu keinem der Zeitpunkte t = 1, . . . , N −1 Geldmittel
zugeführt oder entnommen werden. Wir haben die folgende Charakterisierung von selbstfinanzierenden
Handelsstrategien.
Lemma 3.1.1. Eine zulässige Handelsstrategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn für
alle t = 1, . . . , N gilt, dass
V θ
t
= V θ
0 + (θ, S) t := V θ
0 +
t∑
i=0
d∑
s=1 i=0
)
θ s,i
(S i (s) − S i (s − 1) . (3.3)
Der Ausdruck G θ t := (θ, S) t = ∑ t
s=1 θ′ s∆S s wird oft als Handelsgewinn der selbstfinanzierenden
Strategie θ bezeichnet; der Wert einer selbstfinanzierenden Strategie im Zeitpunkt t ist also die
Summe aus Anfangsinvestition und Handelsgewinn. Wir verwenden die Notation (θ, S) für das
stochastische Integral von θ bzgl. S, was im zeitlich diskreten Modell schlicht eine Riemannsumme
ist, vergleiche auch die Definition im Anhang.
Beweis: Nach der Definition von V θ ist
V θ
t+1 − V θ
t = θ ′ t+1S t+1 − θ ′ tS t . (3.4)
Die Strategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn θ ′ tS t = θ ′ t+1S t . Zunächst folgt daraus,
dass
V θ
t+1 − V θ
t = θ ′ t+1∆S t+1 (3.5)
gilt, also (3.2). Umgekehrt folgt aus (3.2) die Darstellung (3.5) und mit Gleichung (3.4), dass θ
selbstfinanzierend ist.
Diskontierte Größen. Der Übergang zu diskontierten Größen vereinfacht die Handhabung
des Modells wesentlich. Definiere den diskontierten Preisprozess durch ˜S
(
)
t := 1, S t,1
S t,0
, . . . , S t,d
′,den
S t,0
diskontierten Wertprozess einer Strategie θ durch Ṽ θ
t := V θ
t
S t,0
= θ ′ ˜S t t und schließlich ˜G θ t :=
(θ, ˜S). Analog zu Lemma 3.1.1 zeigt man
Lemma 3.1.2. Eine Strategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn
Ṽ θ
t
= Ṽ θ
0 + ˜G θ t .
Bemerkung. Da ˜S t,0 ≡ 1, ist ˜G θ unabhängig von (θ t,0 ) t=1,...,N . Daher liegt die Wahl von V 0
und (θ t,1 , . . . , θ t,d ) ′ t=1,...N
eindeutig die Position in Wertpapier 0 fest, falls θ selbstfinanzierend
ist. Umgekehrt kann bei gegebenem V 0 jede Strategie (θ t,1 , . . . , θ t,d ) in den Wertpapieren 1, . . . , d
durch Wahl von θ 0 auf eindeutige Weise zu einer selbstfinanzierenden Strategie ergänzt werden.
Für das so bestimmte θ 0 gilt
θ t,0 = Ṽ0 + ˜G θ d∑
t − θ t,i ˜St,i ;
man sieht leicht, dass θ t,0 tatsächlich previsibel ist.
i=1