Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.2 Derivative Produkte 7
(ii) kontinuierliche Verzinsung (auf Märkten weniger verbreitet, aber üblich in der Theorie
zeitstetiger Zinsmodelle). Die continously compounded yield y(0, T ) ist durch die Gleichung
B(0, T ) = exp (−y(0, T ) T ) (1.4)
definiert, d.h. y(0, T ) = − 1 T ln B(0, T ). Die ( yield y(0, T ) kann als Grenzwert des Zinssatzes r c,n
für n → ∞ betrachtet werden, da lim n→∞ 1 +
x n
n)
= e x . Für großes n ist die rechte Seite von
(1.2) ≈ e −T r c,n
. Die Kurve T → y(0, T ) heißt Zinsstrukturkurve im Zeitpunkt t = 0.
1.2.2 Terminverträge
Terminverträge (engl. forward contracts) sind die einfachsten Beispiele für derivative Finanzprodukte.
Definition 1.2.1. Ein Terminvertrag ist eine zum Zeitpunkt t eingegangene Verpflichtung,
• ein Gut G mit Preis G(t) -das Underlying-
• zu einem zukünftigen Zeitpunkt T > t -dem Fälligkeitszeitpunkt-
• zu einem in t festgelegten Basispreis K
zu kaufen.
Typischerweise wird der Basispreis so festgelegt, dass das Eingehen der Kaufverpflichtung im
Zeitpunkt t kostenlos ist; in diesem Fall nennt man den Basispreis Terminpreis; der Terminpreis
für das Gut im Zeitpunkt t sei mit F G (t, T ) bezeichnet.
In der Praxis werden Terminverträge auf Wertpapiere und Devisen, aber auch auf Rohstoffe wie
Edelmetalle, Rohöl oder Strom abgeschlossen. Terminverträge dienen meist der Risikokontrolle,
etwa indem sie Unternehmen helfen, Wechselkursrisiken auszuschließen.
Manchmal spricht man bei Definition 1.2.1 auch von einer long position in einem Terminvertrag;
die Verpflichtung, das Gut G im Zeitpunkt T > t zum in t festgelegten Preis zu verkaufen
bzw. zu liefern heißt entsprechend short position. Der Preis G(t) des Gutes im Zeitpunkt t
wird manchmal als spot-Preis bezeichnet.
Der Wert bei Fälligkeit eines Terminvertrages in Abhängigkeit des Preises G(T ) ist durch
G(T ) − K gegeben; entsprechend ist der Wert einer short position gleich −(G(T ) − K) =
K − G(T ). Gilt K = F G (t, T ), so macht man bei einer long position in einem Terminvertrag
einen Gewinn (bzw. Verlust), falls G(T ) > F G (t, T ) (bzw. G(T ) < F G (t, T ) ).
1.2.3 Bewertung von Terminverträgen
Falls das Gut G ein gehandeltes Wertpapier ist, so lässt sich der Preis des Terminvertrages bzw.
der Terminpreis leicht ermitteln. Man argumentiert, dass es an einem Finanzmarkt auf Dauer
keine risikofreien Gewinnmöglichkeiten (sogenannte Arbitragemöglichkeiten) gibt; eine formale
Definition wird in Definition 2.2.1 gegeben. Die Annahme der Arbitragefreiheit ist sinnvoll,
da vorhandene Arbitragemöglichkeiten von Investoren ausgenutzt werden und somit nicht von
Dauer sind.