Vorlesungsskript Finanzmathematik I

A.2 Stoppzeiten und Optionales Stoppen 66
A.1.3
Diskrete stochastische Integrale.
Im Folgenden betrachten wir stets einen festen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, F, P).
Ein selbstfinanzierender Wertprozess wird die Gestalt
(θ, S) n :=
n∑
θ i ∆S i =
i=1
n∑
θ i (S i − S i−1 ), n ≥ 1 (A.1)
i=1
haben, wobei ∆S n = S n − S n−1 . Hierbei ist (S n ) n≥0 ein Martingal und (θ n ) n≥1 vorhersehbar
oder auch previsibel, d.h. θ n ist F n−1 -messbar.
Lemma A.1.10. Ist S ein Martingal und θ vorhersehbar, so ist der Prozess ((θ, S) n ) n∈N ein
Martingal.
Beweis. Zunächst folgt aus der Vorhersehbarkeit von θ, dass θ n ∈ L 1 (Ω, F, P) für alle n ≥ 1.
Wir setzen I n := (θ, S) n . Zu zeigen ist E(I n+1 |F n ) = I n . Dazu
E(I n+1 |F n ) = E
Nun ist θ i vorhersehbar, also
( n+1
∑ ∣ )
θ i ∆S ∣Fn i =
i=1
n∑
θ i ∆S i + E(θ n+1 ∆S n+1 |F n ).
i=1
E(θ n+1 ∆S n+1 |F n ) = θ n+1 E(S n+1 − S n |F n )
= θ n+1
(
E(S n+1 |F n ) − S n
)
= 0.
Interessanterweise gilt auch die Umkehrung
Lemma A.1.11. Eine adaptierte Folge (S n ) n≥0 ist ein Martingal, falls für jede beschränkte
vorhersehbare Folge von Zufallsvariablen (θ i ) i≥1 gilt, dass
E ( (θ, S) n
)
= 0 ∀ n ≥ 1.
Beweis. Wir zeigen E(S n+1 |F n ) = S n . Nach der Definition des bedingten Erwartungswertes ist
das gleichbedeutend mit
∫
∫
E(S n+1 |F n ) dP = S n dP, ∀ F ∈ F n
F
F
also E(1 F S n+1 ) = E(1 F S n ). Wir haben also zu zeigen, dass
(
)
E 1 F (S n+1 − S n ) = E ( )
1 F ∆S n = 0. (A.2)
Nun wähle θ n+1 = 1 F und θ i = 0 sonst. Natürlich ist (θ n ) vorhersehbar und beschränkt und des
weiteren gilt (A.2).
A.2 Stoppzeiten und Optionales Stoppen
Definition A.2.1. Eine Zufallsvariable mit Werten in N ∪ {∞} heißt Stoppzeit (bezgl. F),
falls
{τ ≤ n} = {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ n} ∈ F n ∀ n ≤ ∞.
Wir nennen eine Stoppzeit τ beschränkt, falls es eine konstante K gibt, so dass P(τ ≤ K) = 1.