Vorlesungsskript Finanzmathematik I

2.4 Unvollständige Märkte 26
2.4.3 Quadratic Hedging
Wie wir gerade gesehen haben, führt der Versuch, mittels Superreplikation das mit dem Verkauf
einer bedingten Auszahlung verbundene Risiko vollständig zu eliminieren, oft zu prohibitiv hohen
Superreplikationskosten. Alternativ kann man versuchen, zu gegebenem W Absicherungsstrategien
zu finden, die den sogenannten Hedgefehler W − Dθ in einem geeigneten Sinn minimieren.
Beim Quadratic-Hedging Ansatz wird die Größe des Hedgefehlers durch das sogenannte mittlere
quadratische Risiko, definiert als L 2 -Norm von W −Dθ bezüglich des realen Maßes P , gemessen.
Mit p k = P ({ω k }) ist das mittlere quadratische Risiko gegeben durch
E P ((W − Dθ) 2 ) :=
K∑
p k (W k − (Dθ) k ) .
Die Bestimmung einer Absicherungsstrategie θ, die das mittlere quadratische Risiko minimiert,
führt also auf das folgende quadratische Optimierungsproblem
min
θ∈R n
K ∑
k=1
k=1
p k (W k − (Dθ) k ) 2 . (2.13)
Quadratische Absicherungsstrategien führen auf quadratische Optimierungsprobleme und sind
daher analytisch relativ leicht handhabbar. Aus ökonomischer Sicht ist die “Symmetrie” in der
Zielfunktion in (2.13) allerdings problematisch, da eine “overperformance” des Absicherungsportfolios
(W k < (Dθ) k ) aus Verkäufersicht weniger problematisch ist als eine “underperformance”
(W k > (Dθ) k ).
Da es sich bei (2.13) um ein quadratisches Optimierungsproblem ohne Nebenbedingungen handelt,
sind die Bedingungen erster Ordnung notwendig und hinreichend für ein Optimum. Ableiten
von (2.13) liefert die folgenden N Gleichungen zur Bestimmung eines optimalen Portfolios
θ ∗ ∈ R N :
K∑
p k (W k − (Dθ ∗ ) k )d kn = 0, 1 ≤ n ≤ N . (2.14)
k=1
Aus (2.14) lassen sich eine Reihe interessanter Folgerungen ziehen:
• Wir können (2.14) alternativ in der Form E P ((W −Dθ ∗ )a n ) = 0 schreiben, a n die zufällige
Auszahlung von Wertpapier n, so dass der Hedgefehler W − Dθ ∗ der optimalen Strategie
senkrecht im L 2 (Ω, P )-Sinn auf der Menge der erreichbaren Auszahlungen steht.
• Für n = 1 erhalten wir wegen a 1 (ω k ) = 1 für alle k, dass E P (W − Dθ ∗ ) = 0, d.h. der
mittlere Hedgefehler verschwindet.
• Das Gleichungssystem (2.14) ist äquivalent zu
K∑
p k W k =
k=1
K∑
p k d kn
k=1
N ∑
l=1
d kl θ ∗ l , 1 ≤ n ≤ N.
Da die rechte Seite in der Form ∑ N
l=1 a nlθl ∗ mit a nl = ∑ K
k=1 p kd kn d kl geschrieben werden
kann, erhalten wir ein lineares Gleichungssystem für θ ∗ . Man sieht leicht, dass dieses
Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, falls die Auszahlungsmatrix Rang N hat und falls
p k > 0 für alle k.
Weitere Information zu quadratic-hedging Ansätzen findet man etwa in Kapitel 10 von Föllmer
& Schied (2004).