Vorlesungsskript Finanzmathematik I

A.1 Grundlagen 64
5. Faktorisierung. Ist B = σ(η), so schreiben wir kurz E(ξ|η) := E(ξ|σ(η)). Mann kann zeigen,
dass E(ξ|η) eine messbare Funktion von η ist, etwa E(ξ|η) = f(η). Diese Funktion f nennt
man Faktorisierung und wir setzen
E(ξ|η = x) := f(x).
Ist ξ unabhängig von η, so gilt für jede messbare Funktion T : R 2 → R, dass
E (T (ξ, η)|η = x) = E (T (ξ, x)) .
6. Für B 1 ⊂ B 2 ⊂ F gilt
E ( E(ξ|B 2 )|B 1
)
= E(ξ|B1 )
Diese Regeln übertragen sich unmittelbar auf d-dimensionale Zufallsvariablen.
A.1.2
Martingale
Als nächstes wenden wir uns den Martingalen zu. Sie stellen sehr wichtige Hilfsmittel für stochastische
Prozesse dar. Zunächst benötigen wir ein Konzept für die anfallende Information,
welches aus den so genannten Filtrationen besteht.
Betrachten wir eine Folge von Zufallsvariablen S 1 , S 2 , . . . , so ist die zu einer Zeit n zur Verfügung
stehende ”Information´´ gegeben durch σ(S 1 , . . . , S n ). Natürlich hat man zur Zeit n + 1 mehr
Information. Die Filtration greift diese Idee auf:
Definition A.1.3. Eine Folge von sub-σ-Algebren F 1 ⊂ F 2 ⊂ · · · ⊂ F heißt Filtration. Wir
schreiben F = (F n ) n≥0 .
Definition A.1.4. Betrachte eine Filtration F. Ist für jedes n ≥ 1 S n ∈ L 1 (Ω, F, P) und S n F n -
messbar, so sagen wir (S n ) n∈N ist an F adaptiert. Weiterhin heißt S ein
für alle m ≥ n P−fast sicher gilt.
F-Martingal, falls E(S m |F n ) = S n
F-Submartingal, falls E(S m |F n ) ≥ S n
F-Supermartingal, falls E(S m |F n ) ≤ S n
Falls die Filtration fixiert ist, sprechen wir der Einfachheit halber schlicht von einem Martingal
(ebenso natürlich für Super- und Submartingale). Für einen vorgegebenen stochastische Prozess
S definiert man die kanonische Filtration F S durch F S n := σ(S 1 , . . . , S n ).
Bemerkung A.1.5. Ein Martingal ist also auch ein Super- und ein Submartingal. Ein Submartingal
hat einen Aufwärtstrend, ein Supermartingal ein Abwärtstrend. Man beachte, dass S genau
dann ein Submartingal ist, wenn −S ein Supermartingal ist.
Beispiel A.1.6. .
1. Irrfahrt (Random walk). Betrachte i.i.d. (unabhängige und identisch verteilte) ξ i . Dann
ist
n∑
S n :=
ein Martingal falls E(ξ i ) = 0. (Sub-/Super-Martingal für ≥ 0 bzw. ≤ 0) bzgl. der kanonischen
Filtration F S .
i=1
ξ i