Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.3 Optionen 13
Beweis: Zunächst einmal ist klar, dass Ct
A ≥ C t . Angenommen, der amerikanische Call wird
vorzeitig ausgeübt, etwa zum Zeitpunkt τ < T . Der Inhaber erhält (S τ − K) + . Allerdings gilt
für den Wert der europäischen Option C τ ≥ S τ − KB(τ, T ); C τ ist damit strikt größer als der
Ausübungswert des amerikanischen Calls, und wir erhalten
C A τ ≥ C τ ≥ S τ − KB(τ, T ) ≥ S τ − K.
Also hat der Ausübende weniger Geld erhalten, als sein Call zu dieser Zeit am Markt wert war.
Demnach lohnt es sich nicht, ihn vorzeitig auszuüben.
Im wesentlichen beruht diese Aussage darauf, dass der Ausübungswert K weiter verzinst wird,
und man bei vorzeitigem Ausüben diesen Zins verlieren würde.
Bemerkenswerterweise ist das beim amerikanischen Put genau umgekehrt, so dass sich vorzeitiges
Ausüben lohnen kann. Ebenso verhält es sich im Fall, wenn die Aktie eine Dividende zahlt.
Lemma 1.3.7 (Put-Call Relation für amerikanische Optionen). Für amerikanische Calls und
Puts mit Preisen C A t bzw. P A t mit jeweils identischen Merkmalen (K, T ) gilt
S t − K ≤ C A t − P A t ≤ S t − KB(t, T ). (1.10)
Beweis: Offensichtlich ist Pt
A ≥ P t . Aus der Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten
wir C t − P t = S t − KB(t, T ) und mit Satz 1.3.6
Ct A − Pt A = C t − Pt A ≤ C t − P t .
Damit folgt die rechte Seite aus Gleichung 1.8.
Für die linke Seite zeigen wir S t + P A t ≤ C A t + K. Hierbei ist C A t = C t . Wähle eine beliebigen
aber festen Zeitpunkt τ ∈ (t, T ]. Für τ = T erhalten wir Ausübung an Maturität, also das
Auszahlungsprofil eines europäischen Puts. In der Handelsstrategie von Portfolio 1 wird man
den Betrag K auf ein Bankkonto einzahlen. Dieses Bankkonto wird mit einem risikolosen aber
möglicherweise zufälligem Zinssatz verzinst. Der Betrag K hat an einem späteren Zeitpunkt
τ > t einen gestiegenen Wert, den wir mit Kβ(τ − t) ≥ K bezeichnen. Wir betrachten die
folgenden beiden Portfolios
Portfolio 1 Wert in t Wert in τ ∈ (t, T ]
• Kaufe am. Call Ct A = C t Cτ A = C τ
• Zahle K auf Bankkonto K Kβ(τ − t)
C t + K C τ + Kβ(τ − t)
Portfolio 2
• Kaufe am. Put und P A t (K − S τ ) +
übe ihn in τ aus
• Kaufe Aktie S t S τ
P A t + S t S τ + (K − S τ ) +
= max{S τ , K}