Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.6 Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen 55
• Ṽ θ
t = ˜C t für t = τ max .
Insbesondere können wir also zu Zeitpunkten t > τ max Geld aus dem Portfolio entnehmen, falls
die Option bis dahin noch nicht ausgeübt wurde (suboptimale Ausübungsstrategie des Käufers).
Aus Sicht des Verkäufers ist Vt
θ der kleinste Betrag, für welchen er sich gegen die Auszahlung
der amerikanischen Option absichern kann. Denn, für ein F t -messbares Vt
∗ mit
Ṽ ∗ u := Ṽ ∗
t +
u∑
k=t+1
θ ∗ k ∆S k ≥ ˜C u ,
∀u ≥ t
ist Ṽ ∗ u ein Martingal, also insbesondere ein Supermartingal. Da Ṽ ∗ u ˜C dominiert folgt aus der
Minimalität von U ˜C, dass Ṽ ∗ u ≥ U ˜C
u .
Optimale Ausübung des Käufers. Der Käufer ist interessiert an einer optimalen Strategie
zur Ausübung der amerikanischen Option. Ein mögliches Kriterium ist die optimale erwartete,
diskontierte Auszahlung:
max
τ∈T EQ (H τ )
Beispiel 3.6.8. Ist der Käufer an einer Nutzenmaximierung interessiert, möchte er also für ein
Funktion u den erwarteten Nutzen E Q (u(H τ )) der diskontierten Auszahlung maximieren, so
kann man das in dem vorgestellten Rahmen leicht durch die Betrachtung von ˜H t := u(H t )
einbeziehen.
Mit den entwickelten Methoden des optimalen Stoppens erhalten wir nun leicht, dass der Wert,
den der Käufer durch optimales Ausüben erzielen kann, gleich V θ
0 ist:
Sei τ ∗ eine Lösung des Problems max{E Q ( ˜C τ ) : τ ∈ T}. Wir wissen, dass Lösungen existieren,
z. B. τ ∗ = τ max oder τ ∗ = τ min . Nach (3.34) gilt außerdem, dass E Q ( ˜C τ ∗) = U ˜C
0 . Wir wählen
ein festes τ ∗ und betrachten folgende Strategie:
• Übe die amerikanische Option an t aus, falls t = τ ∗
• Investiere den erhaltenen Betrag C t risikolos
Dies führt zu folgendem Vermögen in N:
H ∗ :=
N∑
t=0
1 {τ ∗ =t}C t
S N,0
S t,0
.
Nach der risikoneutralen Bewertungsformel ist der diskontierte faire Preis von H ∗ gegeben durch
( ) ( N
)
H
∑
E Q = E Q 1
S {τ ∗ =t} ˜C ( )
t = E Q ˜Cτ ∗ = U ˜C
0 .
N,0
t=0
Der Wert der Auszahlung H ∗ and N liefert aus Käufersicht eine untere Schranke für den Wert der
amerikanischen Option. Wegen U ˜C
0 = V 0 ist also der Wert der amerikanischen Option mindestens
V 0 .
Zusammenfassend haben wir (S 0,0 = 1)
Satz 3.6.9. Der faire Wert einer amerikanischen Option gegeben durch C in einem vollständigen,
arbitragefreien Markt mit Martingalmaß Q ist gegeben durch V θ
0 = U ˜C
0 , wobei U ˜C den
Snell envelope des diskontierten Auszahlungsprozesses ˜C beschreibt.