Vorlesungsskript Finanzmathematik I

4.1 Einführung 60
4.1.2 Floating Rate Notes
Neben dem oben schon erwähnten Kupon Bond mit festen Kupons gibt es auch Vereinbarungen
über die Zahlung eines variablen Zinssatzes. Die Zahlung wird zu jedem Zahlungszeitpunkt neu
festgesetzt und orientiert sich an einem benchmark. So könnte der Kupon zur Zeit T i (i =
1, . . . , n) aus der LIBOR rate für den vergangenen Zeitraum [T i−1 , T i ] hervorgehen:
K i = (T i − T i−1 )L(T i−1 , T i ) · K.
Überraschend ist, dass K i erst an T i gezahlt wird, dessen Höhe aber schon an T i−1 bekannt
ist. Wir werden gleich sehen, wieso dass so ist. Für den Wert des Bonds diskontieren wir die
zukünftigen Zahlungen wie bereits in (4.1) mit den Bondpreisen, allerdings gibt es hier eine
Besonderheit: Der Kupon zur Zeit T i ist zur Zeit t gar nicht bekannt! Man kann, mittels eines
FRA, die verwendete LIBOR-Rate heute schon fixieren. Verwendet man diese in der Berechnung,
so erhält man für t ≤ T 0
B F l (t, T ) = B(t, T n ) +
n∑
B(t, T i )(T i − T i−1 )L(t; T i−1 , T i ) · K
i=1
n∑
( )
B(t, Ti−1 )
= B(t, T n ) + B(t, T i )
− 1 · K
B(t, T
i=1
i )
n∑
= B(t, T n ) + K B(t, T i−1 ) − B(t, T i ) = B(t, T n )(1 − K) + KB(t, T 0 ).
i=1
Für K = 1 erhalten wir demnach B F l (t, T ) = B(t, T 0 ). Diese Floating Rate Note kann mit
einer einfachen Handelsstrategie repliziert werden, was gerade ihre Attraktivität ausmacht. Auf
dem gleichen Prinzip beruhen auch die im nächsten Kapitel folgenden Zins-swaps. Wir haben
bei obiger Berechnung etwas schwammig argumentiert. Die replizierende Handelsstrategie stellt
diese Argumentation jedoch auf solide Füße.
Aufgabe 2. Finden Sie die Handelsstrategie, die B F l repliziert.
4.1.3 Swaps
Ein Swap ist im Prinzip ein Tauschgeschäft. Bei den standardisierten Swaps wird eine feste
Zinsrate gegen eine variable Zinsrate getauscht. Hauptsächlich gibt es zwei typische Swaps, einen
Payer und einen Receiver Swap. Beim Payer Swap wird die feste Rate gezahlt, beim Receiver
Swap gerade umgekehrt. Der Payer Swap ist demnach durch drei Dinge festgelegt
1. Die Zahlungszeitpunkte T 1 , . . . , T n ,
2. die feste Rate K,
3. das Nominal N.
Der Einfachheit halber nehmen wir äquidistante Zahlungen an und setzen ∆ := T i − T i−1 .
Ähnlich wie bei den floating rate notes zahlt man die variable Zinsrate im Nachhinein (engl.
,,in arrears”). Damit zahlt der Inhaber des Payer Swaps an T i (i = 1, . . . , n) gerade K∆N und
erhält gleichzeitig die LIBOR-Rate L(T i−1 , T i )∆N.