Vorlesungsskript Finanzmathematik I

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Kapitel 3
Mehrperiodenmodelle
3.1 Modell und grundlegende Begriffe
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit |Ω| = K < ∞ und P ({ω k }) > 0 für
alle 1 ≤ k ≤ K. Wir betrachten ein Modell mit einer endlichen Anzahl von Handelszeitpunkten
t = 0, 1, . . . , N. Außerdem sei eine Filtration F = (F t ) t=0,1,...,N gegeben; wie üblich beschreibt
F t die Information, die einem Investor im Zeitpunkt t ∈ {0, 1, . . . , N} zur Verfügung steht. Wir
nehmen zusätzlich an, dass F 0 = {∅, Ω} die triviale σ-Algebra ist und dass F N = F.
Wertpapiere. Es werden d + 1 Wertpapiere gehandelt; den Preisprozess bezeichnen wir mit
S = (S t ) t=0,1,...,N = (S t,0 , S t,1 , . . . S t,d ) t=0,1,...,N
, wobei S t,i bzw. S t,i (ω) den Preis von Wertpapier
i ∈ {0, 1, . . . , d} im Zeitpunkt t bezeichnet; manchmal verwenden wir auch die Schreibweise
S i (t) bzw. S i (t, ω). Die Preisprozesse seien an die Filtration F adaptiert. Wertpapier 0 wird als
sogenanntes Numéraire verwendet; wir nehmen an, dass S t,0 (ω) > 0 ∀ t ∈ {0, 1, . . . , N}, ω ∈ Ω,
und dass S 0 (0) = 1. Häufig ist S 0 deterministisch oder zumindest previsibel; dies ist aber nicht
notwendig. Zusammenfassend bezeichnen wir unser Marktmodell mit
M := {(Ω, F, P ), F, S} . (3.1)
Handelsstrategien. Eine zulässige Handelsstrategie oder Portfoliostrategie ist ein
(d + 1)-dimensionaler previsibler stochastischer Prozess
θ = (θ t ) t=1,...,n = ( θ t,0 , θ t,1 , . . . , θ t,d
) ′
t=1,...,N .
Hierbei bezeichnet θ t,i (ω) die Menge von Wertpapier i, die ein Investor zum Zeitpunkt t − 1
im Zustand ω kauft und im Zeitraum (t − 1, t] in seinem Portfolio hält. Die Previsibilität von
θ bedeutet, dass die Investitionsentscheidung im Zeitpunkt t − 1, also die Wahl von θ t , nur
auf Informationen aus F t−1 basieren darf; somit sind Phänomene wie ”
Insiderinformationen“
ausgeschlossen. Den Wert der Strategie θ im Zeitpunkt t definiert man durch
V θ
t := θ ′ tS t =
d∑
θ t,i S ti .
i=0