Vorlesungsskript Finanzmathematik I

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Anhang A
Martingale in diskreter Zeit
A.1 Grundlagen
A.1.1
Bedingte Erwartungserte.
Wir wiederholen kurz den Begriff der bedingten Erwartung. Betrachte den Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P). Mit L 1 (Ω, F, P) bezeichnen wir die Menge aller messbaren Funktionen ξ : Ω → R
mit E(|ξ|) < ∞.
Definition A.1.1. Sei ξ ∈ L 1 (Ω, F, P) und B eine Sub-σ-Algebra von F. Eine Zufallsvariable
z ∈ L 1 (Ω, F, P) heißt bedingte Erwartung von ξ gegeben B, falls
i) z ist messbar bzgl. B
ii) Für alle B ∈ B gilt:
∫
∫
ξ dP =
z dP.
B
B
Wir setzen
E(ξ|B) :=
{
}
z ∈ L 1 (Ω, F, B) : z erfüllt i) und ii)
und schreiben für jedes solche z einfach E(ξ|B).
Beispiel A.1.2. Wirft man einen Würfel zweimal und bezeichnet das Ergebnis des jeweiligen
Wurfs mit ξ 1 bzw. ξ 2 , so ist E(ξ 1 |ξ 2 ) = E (ξ 1 |σ(ξ 2 )) = E(ξ 1 ). Als Übungsaufgabe bestimme man
E(ξ 1 |ξ 1 + ξ 2 ).
Wir fassen kurz einige Rechenregeln zusammen:
1. E ( E(ξ|θ) ) = E(ξ)
2. Positivität. Für ξ ≥ 0 folgt E(ξ|B) ≥ 0
3. Linearität. Für B-messbare ξ 1 , ξ 2 gilt
E(ξ 1 · η 1 + ξ 2 · η 2 |B) = ξ 1 E(η 1 |B) + ξ 2 E(η 2 |B).
4. Unabhängigkeit. Ist ξ unabhängig von B, so ist
E(ξ|B) = E(ξ).