Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell 41
2b-a
2b-a
b
b
a
a
Die Schlüsselbeobachtung ist also, dass nur eine feste Anzahl von downs in ups getauscht werden
muss, nämlich so viele, wie Knotenpunkte von b nach a führen (im Beispiel 2 Knotenpunkte).
Mit unserer Notation b = ku und a = lu besitzt der gespiegelte Pfad gerade k − l ups mehr als
der Originalpfad. Die Anzahl der Pfade bleibt gleich, aber die Wahrscheinlichkeit ändert sich,
und zwar muss an k − l Stellen 1 − p durch p ersetzt werden, also
( ) p k−l
P (S n = a, max S i ≥ b) = P (S n = 2b − a)
.
1≤i≤n 1 − p
Wir möchten das Spiegelungsprinzip nun für die Bewertung eines up-and-in Calls verwenden.
Dazu wandeln wir das betrachtete Modell S t = S 0
∏ t
i=1 ξ i durch Logarithmieren von Produktauf
Summengestalt um, und erhalten
˜S t := ln S t
S 0
=
t∑
ln ξ i .
Die Bedingung (ln ξ i ) ∈ {a, −a} ist nun gleichbedeutend mit ξ i ∈ {e a , e −a } := {u, 1 u
}. Mit der
Barriere B > K erhalten wir
C up-and-in (
)
= E Q 1
(1 + r) T (S T − K) + 1 {max1≤j≤T S j ≥B}
1 ∑
T (
=
(1 + r) T E
(1 Q u i ) +
)
u {ST =S i S
0
u T −i } 0
u T −i − K 1 {max1≤j≤T S j ≥B}
=
i=1
1
∑
(1 + r) T
u
i:S i
0
u T −i =S 0u 2i−T ≥K
i=1
(
Q S T = S 0 u 2i−T ,
max S j ≥ B
1≤j≤T
)
(S 0 u 2i−T − K).
Jetzt müssen wir noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Mit B = S 0 u k und 2i − T < k (d.h.
B > S T > K) haben wir
(
) (
Q S T = S 0 u 2i−T , max S j ≥ B = Q ln S T
= (2i − T ) ln u, max
1≤j≤T S ln S )
j
≥ k ln u .
0 1≤j≤T S 0