Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

2. Das Dirac-MaßSei p ∈ X ein fixierter Punkt. Das Dirac-Maß entscheidet, ob p in einer Menge liegtoder nicht. Wir definieren δ p : P(X) → [0, ∞] durchδ p (A) =δ p ist ein vollständiges, σ-endliches Maß.{1 falls p ∈ A0 falls p ∉ A3. Sei (x n ) ∞ n=1 eine Folge im R n ohne Häufungspunkte und f : N → [0, ∞) eine “Gewichtsfunktion”.Wir definieren µ f : P(R n ) → [0, ∞] durchµ f (A) := ∑f(n).x n ∈Aµ f ist ein vollständiges, σ-endliches Maß. Die σ-Endlichkeit folgt, da man R n durchkompakte Kugeln ausschöpfen kann, die jeweils nur endlich viele Folgenglieder x nenthalten können, da (x n ) ∞ n=1 keinen Häufungspunkt hat.4. Sei X = R n und R n der Ring der Figuren aus Beispiel 5, Kapitel 11.2.1. Für einenQuader Q = [a 1 , b 1 ) × . . . × [a n , b n ) betrachten wir sein geometrisches Volumenvol(Q) :=n∏(b i − a i ).i=1Wir definieren den Inhalt einer Figur als Summe der Volumen der Quader, derendisjunkte Vereinigung die Figur bildet. D.h. v n : R n → [0, ∞) ist definiert durch⎧⎨m∑⋃vol(Q i ) falls A = m Q i , Q i ∈ E n paarweise disjunktv n (A) := i=1i=1⎩0 falls A = ∅v n (A) hängt nicht von der Zerlegung von A ab.v n ist ein σ-endlicher σ-Inhalt (Übungsaufgabe 11.3).11.2.2 Konstruktion von Maßräumen nach CaratheodoryIn diesem Abschnitt lernen wir ein Verfahren kennen, mit dem man Maßräume konstruierenkann. Diese Konstruktion stammt von Caratheodory.Wir gehen von einem Ring R und einem Inhalt µ : R → [0, ∞] aus. Dies ist oft einfach anzugeben.Wir wollen (R, µ) zu einem Maßraum (X, A, ˜µ) erweitern mit R ⊂ A und ˜µ| R = µ.Definition: Eine Abbildung µ ∗ : P(X) → [0, ∞] heißt äußeres Maß auf X, falls1. µ ∗ (∅) = 0.2. A ⊂ B ⇒ µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B) (Monotonie).3. µ ∗ ( ∞ ⋃n=1∑A n ) ≤ ∞ µ ∗ (A n ) (σ-Halbadditivität)n=1Bemerkung: Jedes Maß auf P(X) ist ein äußeres Maß (Satz 11.4), aber es existierenäußere Maße, die keine Maße sind (Übungsaufgabe 11.6).11