Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Satz 11.33.1. Jede σ-Algebra ist monoton.2. Jede monotone Algebra ist eine σ-Algebra.3. Ist E ⊂ P(X) eine Algebra, so gilt M(E) = A σ (E).Beweis: Den Beweis haben wir aus Zeitgründen in der Vorlesung weggelassen und überlassenihn dem Leser als Übungsaufgabe.Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) Maßräume. Wir wollen auf X × Y eine σ-Algebra A ⊗ σ B undein Maß λ : A ⊗ σ B → [0, ∞] definieren, so dass für jedes A ∈ A und B ∈ B giltA × B ∈ A ⊗ σ B und λ(A × B) = µ(A) · ν(B).Dazu betrachten wir folgendes Mengensystem disjunkter VereinigungenE :={E ⊂ X × Y | E =m⋃(A i × B i ) disjunkte Vereinigung}i=1A i ∈ A, B i ∈ B i = 1, . . . , m .Man prüft leicht nach, dass E eine Algebra ist.Definition: Die σ-Algebra A ⊗ σ B := A σ (E) heißt Produkt der σ-Algebren A und B.Nach Satz 11.33 gilt A ⊗ σ B = M(E)Sei E ⊂ X × Y eine Teilmenge und x ∈ X, y ∈ Y fixiert. Wir betrachten die folgendenMengenE x := {t ∈ Y | (x, t) ∈ E} ⊂ Y x-Schnitt von EE y := {s ∈ X | (s, y) ∈ E} ⊂ X y-Schnitt von EYyE xxE yXSatz 11.34. Sei E ∈ A ⊗ σ B. Dann gilt E x ∈ B ∀x ∈ X und E y ∈ A ∀y ∈ Y .Beweis: Wir beweisen die Behauptung für die x-Schnitte. Für die y-Schnitte geht das analog.Sei dazuS := {E ∈ A ⊗ σ B | E x ∈ B ∀x ∈ X} ⊂ A ⊗ σ B.Zu zeigen ist, dass S = A ⊗ σ B = A σ (E). Dazu genügt es zu zeigen, dassa) E ⊂ S undb) S eine σ-Algebra über X × Y ist.46