Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.6 Die Transformationsformel für Lebesgue-IntegraleFür Riemann-Integrale kennen wir die folgende Transformationsformel. Ist ϕ : I → Î einC 1 -Diffeomorphismus und f : Î → R stetig, so gilt∫∫f(ϕ(t)) · |ϕ ′ (t)| dt = f(x) dxIÎ=ϕ(I)Dies erhält man durch die Variablensubstitution x = ϕ(t). Wir wollen diese Formel aufLebesgue-Integrale im R n verallgemeinern. Dazu erinnern wir zunächst nochmal an dieJacobi-Matrix einer glatten Abbildung ϕ : U ⊂ R n −→ R m . Ist x ein Punkt der offenenMenge U, so ist die Jacobi-Matrix von ϕ in x gegeben durch⎛Dϕ(x) =⎜⎝∂ϕ 1∂x 1(x) . . .∂ϕ 2∂x 1(x) . . ...∂ϕ m∂x 1(x) . . .∂ϕ 1∂x n(x)∂ϕ 2∂x n(x).∂ϕ m∂x n(x)⎞.⎟⎠Satz 11.40 (Transformationsformel für das Lebesgue-Integral). Seien U und Voffene Teilmengen des R n und ϕ : U −→ V ein C 1 -Diffeomorphismus. Eine Funktionf : V → R ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn (f ◦ ϕ) · |DetDϕ| : U → R Lebesgueintegrierbarist. Es gilt dann∫∫f dλ n = (f ◦ ϕ) · |DetDϕ| dλ n .V =ϕ(U)UFolgerung 10: Ist A ⊂ U eine Lebesgue-meßbare Menge und ϕ : U → V ein C 1 -Diffeomorphismus.Dann ist das Bild ϕ(A) ⊂ V ebenfalls Lebesgue-meßbar und man kann dasMaß folgendermaßen berechnen:∫λ n (ϕ(A)) = |DetDϕ(x)| dλ n (x) (∗)ADie Lebesgue-Meßbarkeit von ϕ(A) folgt bereits aus Satz 11.13. Folgerung 10 verallgemeinertdie Formel für λ n (L(A)) für lineare Abbildungen L : R n → R n aus Satz 11.13. Ist nämlichL linear, so gilt DL(x) = L für alle x ∈ R n und man erhält aus Folgerung 10∫∫λ n (L(A)) = |DetDL(x)| dλ n (x) = |DetL| dλ n = |DetL| · λ n (A) .AABeweis von Satz 11.40: 3Wir benutzen die Transformationsformel für Riemann-Integrale im R 1 und führen den allgemeinenFall mittels Induktion und dem Satz von Fubini darauf zurück.1. Die Folgerung 10 ist offensichtlich ein Spezialfall von Satz 11.40 (Man setze f = 1). Wirzeigen als erstes, dass die Transformationsformel aus Satz 11.40 bereits aus Folgerung 103 Dieser Beweis stammt aus dem Buch von T. Bröcker: Analysis II58