Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

5. Ist A ∈ A und µ(A) = 0 , so gilt∫f dµ = 0 .ASatz 11.26 (Absolute Stetigkeit des Integrals). Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f ∈L(X, A, µ). Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist A ∈ A mitµ(A) < δ, so gilt∫∣ fdµ ∣ < ε.Beweis: Für jedes n ∈ N definieren wirg n (x) :=Dann gilt 0 ≤ g n ≤ g n+1 ≤ |f| . Weiterhin istA{|f(x)| falls |f(x)| ≤ nnfalls |f(x)| > n⎧⎪⎨ X falls a ≤ 0{g n ≥ a} = {|f| ≥ a} falls 0 < a ≤ n⎪⎩∅ falls a > n.Da |f| A-meßbar ist, folgt {g n ≥ a} ∈ A für alle a ∈ R. Nach Folgerung 3 sind die Funktioneng n somit A-meßbar. Die Funktionenfolge (g n ) konvergiert offensichtlich punktweisegegen |f|. Aus dem Satz über die monotone Konvergenz folgt deshalb∫ ∫lim g n dµ = |f|dµ .n→∞XSei ε > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 ∈ N, so dass∫0 ≤ (|f| − g n )dµ < ε ∀ n ≥ n 0 .2XXεWir setzen δ :=2n 0. Für A ∈ A mit µ(A) < δ gilt dann∫∫ ∫∫∫∣ fdµ ∣ ≤ |f|dµ = |f| · χ A dµ = (|f| − g n0 )χ A dµ +X≤AX∫(|f| − g n0 )dµ + n 0 · µ(A) < ε 2 + n 0 · δ = ε.XXXg n0 · χ A dµSatz 11.27. Sei (X, A, µ) ein Maßraum.1. Ist f ∈ L(X, A, µ), so ist f µ-fast überall endlich, d.h. µ({x ∈ X | |f(x)| = ∞}) = 0.2. Ist f ∈ L(X, A, µ), h : X → ¯R A-meßbar und f = h µ-fast überall. Dann gilth ∈ L(X, A, µ) und∫ ∫fdµ = hdµ.XX3. Sei f ∈ L(X, A, µ), h : X → ¯R A-meßbar und |h| ≤ f. Dann ist h ∈ L(X, A, µ).39