Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Sei nun B 2 = {x ∈ C | ‖x‖ < 1} die offene Einheitskreisscheibe und B 2 ihr Abschluss. Dannbeweisst man analog zum obigen Lemma, indem man die Wirkung Ψ kanonisch auf B 2 \ {0}fortsetzt:Lemma 11.8.2. B 2 ∼ SO(2) B 2 \ (0, 1].Das Zentrum des Kreises bedarf einer gesonderten Behandlung, da Ψ(N 0 )0 = 0:Lemma 11.8.3. B 2 ∼ E 2 B 2 \ {0}.Beweis:B 2 \ {0} =( )( )B 2 \ [0, 1] ⊔ (0, 1] ∼ E 2 B 2 \ [0, 1] ⊔ [0, 1) == B 2 ⊔(S 1 \ {1}) Lemma 11.8.1∼ B 2 ⊔ S 1 = B 2Lemma 11.8.4. Sei D ⊂ S 1 abzählbar. Dann gilt immernoch: S 1 ∼ SO(2) S 1 \ D.Beweis: Die Beweisidee ist dieselbe wie in Lemma 11.8.1. Allerdings muss Ψ nun so gewähltwerden, dass Ψ(m)(D) ∩ D ≠ ∅ schon m = 0 impliziert (Vgl. Fussnote 2). Sei dazuΦ = {ϕ ∈ [0, 2π) | ∃ p ∈ D, ∃ n ∈ N, e inϕ · p ∈ D}Da Φ abzählbar ist, existiert ein α ∈ [0, 2π) \ Φ. Wir setzten nun Ψ(m) = e imα . Damit giltΨ(m)(D) ∩ D = ∅, (m ≠ 0) und Ψ(m)(D) ∩ Ψ(n)(D) = ∅ (m ≠ n). Dies liefert folgendeZerlegungen:S 1 = O ⊔ K mit O = Ψ(N 0 )(D), K = S 1 \ OS 1 \ D = Ψ(1)(O) ⊔ KNun gehen wir zum R 3 über. Sei S 2 ⊂ R 3 die Einheitssphäre.Lemma 11.8.5. Sei D ⊂ S 2 abzählbar. Dann gilt S 2 ∼ SO(3) S 2 \ D.Beweis: Da D abzählbar ist, gibt es eine Gerade durch 0, die kein Element aus Denthält. Diese Verwenden wir als Drehachse und übertragen den Beweis von Lemma 11.8.4wortwörtlich.Abschließend das Lemma, das eigentlich gebraucht wird:Lemma 11.8.6. Sei D eine abzählbare Menge von Durchmessern in B 3 , d.h. d ∈ D ist vonder Form d = [−1, 1] · v, v ∈ S 2 . Dann gilt: B 3 ∼ E 3 B 3 \ D.Beweis: Der Schluss von Lemma 11.8.1 auf Lemma 11.8.2 überträgt sich auf die vorliegendeSituation: Eine Wirkung auf S 2 induziert kanonisch eine Wirkung auf B 3 \ {0}. Damiterhält man aus Lemma 11.8.5: B 3 \ D ∼ SO(3) B 3 \ {0}. Nun wenden wir Lemma 11.8.3 aufB 2 ⊂ B 3 an.Nun zum angekündigten Beweis der “Kugelverdopplung”. Seien d f , d h zwei Durchmesser inB 3 mit ∡(d f , d h ) = π/4 und sei:72