Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

folgt: Ist f eine Treppenfunktion, so folgt aus (∗) und der Linearität des Integrals sofort, dass(f ◦ ϕ) · |DetDϕ| integrierbar ist und die Integralformel aus Satz 11.40 gilt. Ist f : V → Rnichtnegativ, so wählt man eine monotone Folge einfacher Funktionen f n ↑ f und erhältdie Behauptung von Satz 11.40 aus dem Satz von Beppo Levi. Eine beliebige integrierbareFunktion f zerlegt man in f = f + −f − und benutzt die schon bewiesene Aussage für f ± . DieUmkehrung folgt, indem man die Transformation ϕ −1 anwendet und analog argumentiert.Zum Beweis von Satz 11.40 genügt es also, die Formel (∗) aus Folgerung 10 zu beweisen:2. Weiterhin genügt es, folgende lokale Aussage zu beweisen: Jeder Punkt p ∈ U hat eineoffene Umgebung W , so dass die Formel (∗) für die Transformation ϕ| W : W → ϕ(W ) gilt.Ist dies gezeigt, so überdeckt man U durch abzählbar viele solche offenen Mengen W j , j ∈ N,z.B. durch Kugeln mit rationalem Durchmesser und Mittelpunkt. Dann zerlegt man A in⋃disjunkte Teile A = ∞ A k mit A k ⊂ W j(k) und benutzt, dass beide Seiten von (∗) σ-additivsind.k=13. Wir zeigen als nächstes, dass die Formel (∗) für n = 1 gilt: Die Transformationsformel fürdas Riemann-Integral zeigt, dass die Maßeµ 1 : A ∈ L(U) → λ 1 (ϕ(A)) und∫µ 2 : A ∈ L(U) → |DetDϕ(x)|dλ 1 (x)Aauf allen kompakten Intervallen übereinstimmen. Da Maße unterhalb stetig sind, und [a, b) =∞⋃[a, b − 1 n ] gilt, stimmen beide Maße auch auf halboffenen Intervallen überein. µ 1 und µ 2n=1sind auf kompakten Mengen endlich und U läßt sich durch kompakte Mengen ausschöpfen.Folglich sind die Maße µ 1 und µ 2 σ-endlich. Nach dem Hahnschen Fortsetzungssatz, stimmendann µ 1 und µ 2 auf L(U) überein.4. Gilt die Formel (∗) für zwei Transformationen ϕ : U → V und ψ : V → W , so gilt sieauch für die Hintereinanderausführung ψ ◦ ϕ : U → W . Dies folgt aus der Produktregel fürdie DeterminanteDet(D(ψ ◦ ϕ)(x)) = Det[(Dψ)(ϕ(x))] · Det[(Dϕ)(x)]und der Äquivalenz von (∗) und Satz 11.40.Die Formel (∗) gilt insbesondere für die Permutation von Variablen, da dies eine lineareAbbildung ist, für die die Behauptung bereits in Satz 11.13 gezeigt wurde. Wir können alsoOBdA Variablen im Bildbereich und im Urbildbereich vertauschen, ohne die Gültigkeit von(∗) zu verletzen.5. Wir beweisen nun die lokale Aussage 2.) durch Induktion über n.Für n = 1 wurde die Behauptung bereits im Punkt 3.) gezeigt. Wir setzen voraus, dass dieBehauptung in Dimension n − 1 gilt und schließen auf die Dimension n.Sei ϕ : U → ϕ(U) = V ein Diffeomorphismus und p ∈ U. Da Dϕ(p) ≠ 0, kann man nachPermutation von Koordinaten in U und V annehmen, dass ∂ϕ1∂x 1(p) ≠ 0. Wir zerlegen nun ϕlokal um p wie folgt in die Verknüpfung zweier Abbildungen:Sei ψ(x 1 , . . . , x n ) := (ϕ 1 (x), x 2 , . . . , x n ). Dann gilt59